Reihen.

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umgewandelt werden, und als Reihensumme ergibt sich daher

7

2 -j- e

+

+

2 (2 -f- e) (2 -(- e + 1) 3 i 2 + e) • • • iz 4- e + 2)

m + '

In ähnlicher Weise werden Reihen behandelt, deren Glieder mitNennern der verwickelteren Form

{z + e) ■ ■ ■ {z + e + n - l)- {z + f) ■ ■ ■ (z + f + n - \) -(z + g) ■ ■ ■

(z -)- () + n—l) ■ ■ ■

behaftet sind. Die Bestimmung der Reihensumme kann auch mitHilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten geliefert werden,da durch die eben besprochene Überlegung die Form der Summe be-

kannt ist;

zum allgemeinen Gliede

: + bz m ~ 1 + • •

(2 + e) (2 + e + 1) • • • (2 + e + n — 1)

z. B. gehört nämlich eine Summe — r „

b (2 + e) (2 + e + 1) • • • (r + e + n — 2.)

w aring behandelt dann auch den Fall, daß zum angegebenen all-gemeinen Gliede ein Exponentialfaktor g : hinzutritt. — Des weiterenbespricht er das folgende Verfahren zur Herstellung summierbarerReihen: Ist u 0 , u 1 , m», • • • eine unendliche Reihe von, nach der Null alsGrenze konvergierenden Zahlen, so hat die Reihe mit dem allgemeinenGliede (au. -f ßu. + a + yu s +t, + •••)? falls a + ß + y+ ■■• = () ist,eine leicht angebbare Summe. — Ferner bildet Waring aus einer Reihemit bekannter Summe t = « 0 -f a x x + o 2 a; 2 + a s x s + • • • durch Multi-plikation mit x r und Differentiation

u = x = >'a 0 x r + (>• + 1 )a i x r + 1 + (r + 2) «, x r + 2 + ■ • •;

v = —- = rsa 0 x' + (r + 1) (s + 1) n l x a + 1 + ■ ■ ■

usf. —Wie man sieht, gehtWarings Absicht darauf hinaus, Regelnzu bilden, die zur Herstellung summierbarer Reihen führen. — DenSchluß des Aufsatzes bilden Prioritätsreklamationen gegenüber Euler und Lagrange hinsichtlich algebraischer Entdeckungen. So nimmtW aring die Behandlung der Wurzeln einer auflösbaren Gleichungin der Gestalt y = a l/p + l V^p 2 + c> / p 3 -f • • ■ gegen Euler für sichin Anspruch; Bestimmungen der Anzahl komplexer Wurzelpaare einerGleichung gesjen La<rran<re. Für die damalige Zeit, die noch nichtim Zeichen des Verkehrs stand, sind derartige Fälle durchaus nichtüberraschend; Waring behandelt sie auch demgemäß: „er habe anEuler eine Arbeit geschickt; ob der sie je empfangen habe, könneer nicht sagen“.