Abschnitt XXI.

2*K

Die zeitliche Folge leitet uns nunmehr zu einem Aufsatze von

Carlo ffianella über 1 ). In vier Paragraphen werden Fragen be-

sprochen, die sich auf die Theorie der Reihen beziehen. Im ersten

Paragraphen wird Z =1 — * + * — x + ••• zur w ten Potenz er-

hoben. Dabei findet sich die Relation, deren Richtigkeit evident ist,

n s x‘

nx Z

n’x’Z 5

(1 + x)"= 1 +

Im zweiten Paragraphen wird die Reihe A B -\- C = W - €

Vä *

summiert, wo die einzelnen Glieder A, B, C, . . . durch die Gleichung

P“ + 2"‘ + 3 m +

+ ö n ”‘ + mAn>

m(m — 1-

1 ) (m — 2 )

bestimmt sind. Der dritte Paragraph beschäftigt sich mit einemSymbole d, für das da”= n a n ~ 1 ist. Dadurch kürzen sich mancheFormeln in ihrer Schreibweise wesentlich ab; man erhält z. B.

n _ d'2*~*+ ^d s 2—* — -i,d a '2’-* -f

2! o!

und im vierten Paragraphen wird das gleiche Symbol d für die Trans-formation und die Iteration von Reihen ausgenützt.

Ein kleiner Streit spielt sich um diese Zeit ab. Euler hatte,unbekümmert um Konvergenz-Notwendigkeiten, die Gleichung

1 . 1

2 ~ 3

lg (i + Y + Y + T + " •)

aufgestellt 2 ). Greg. Fontana 3 ) greift die Ableitung der Gleichungan; Nik. Fuß verteidigt sie 4 ). Auch über die Eulersche Behauptung,

daß * + - - t) -r ■ • • — r / = lg * 1 für n = oo werde,

herrschen verschiedene Meinungen. G. Fontana erwähnt übrigensden bereits verstorbenen Eu ler bei seinen Angriffen nirgend. Es istein „Verfahren gegen Unbekannt“, das er einschlägt. Fuß weistaber nach, daß nur Euler bei den Angriffen gemeint sein kann.Aus der Fußsehen Abhandlung heben wir hier gleich noch eineinteressante Formel heraus, die in den letzten Paragraphen der Arbeit

') Mein. Acad. Turin I, 1784—178ö, p. 391. *) Comm. Petrop. IX '1737'.,

1744, p. 188. 8 ) Mem. mat. üs. Soc. Ital. II, 1784, p. 133. 4 ) Nov. Act. Petrop.

VIII, 1790, p. 201