Reihen.
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abgeleitet wird; es ist ^rrziY = ^ ^ ewe ' s * s ^ j a se h r
= 2
einfach.
Aus demselben Jahre 1784 stammt von dem eben erwähntenG. Fontana eine zweite Arbeit 1 ) über unendliche Ixeiben, in der erwiederum gelegentlich Eulers Schlüsse angreift. Der Hauptinhaltder Abhandlung liegt in der Benutzung der Integralrechnung für dieSummierung von Reihen. Als Beispiel möge folgendes dienen: um
S=l + * 4- - 4- • • • zu finden, leitet er & = S her und inte-
griert diese Differentialgleichung. Ähnlich behandelt er
1 +
■T
OL. -|- . . . ;
' 4! ‘ 6 ! '
x a , x~ , x' 5
'3! ' ~7! ' 11 ! ’ Ts!
X a , X* X b ^ . X a X b X 1 ,
1 2 3 1 " ■> . 3.4 “t" 3 . 4.5 ' ' * * 1 1 . 2.3 "i 3 . 4 . 5 ' 5 . 5 . 7 ”7" 1
er kommt auch auf Bossuts Theoreme (vgl. S. 264).
Aus dem im Jahre 1785 erschienenen letzten Bande des Brief-wechsels Lamberts interessieren uns hier zwei Stellen 2 ), in denenLudwig Oberreit über eine Reibentransformation berichtet, die erund schon vor ihm Lambert gefunden hatte. Von Oberreit werdeerwähnt, daß er 1734 zu Lindau geboren wurde und 1803 zu Dresden als Finanzbeamter starb. Die erwähnte Transformation von
ij = ax m — lx m + n + cx m + 3n + • • •
geht so vor sich, daß die Gleichung zunächst mit a + bx” multi-pliziert wird. Dadurch fällt das Glied mit x m+n fort, und man hat
(a + bx n )y - a 3 x m = a’x m + 3n - b'x m + Sn + cx m + in -;
durch Multiplikation mit (a + Vx”) wird das Glied mit £’'‘ +3 " weg-geschafft usw. Dieses Vorgehen liefert
«V" a a x m + 3n a" 1 x m+1 "
U ~a + bx” + (a + bx n ){a + b'x") + (« + bx n ) (a + V x n ) («" + b"x”)
Wendet man diese Transformation auf die Reihen für die Logarithmen,für die Quadrat- und die Kubikwurzeln an, so erhält man sehr schnellkonvergierende Entwicklungen.
Im Jahre 1786 veröffentlicht A. M. Lorgna wieder eine Reihen-untersuchung 3 ). Er summiert