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Abschnitt XXI.
4-
+
sin (P + 'l)<]P — sin(p + 2g)<p ' sin (/J + 3 g) qp — — sin (j, -\- n q) cp
(und die entsprechende Reihe für die Kosinus) durch Benutzung des
Integrals
L VI
f xn,,x inJ 1 -)- x
für endliche und für unendlich große n. Bei-
spielsweise wird für qr
gefunden
l
sin cp
sin 2 cp
1
sin 3 cp
:}/3
12
%
G. Fontana gibt ohne Beweise 1 ) 37 Theoreme über Reihen-summen; wir führen, um eine Anschauung zu vermitteln, einige an:
2-4-6
i _ lS ‘2 * 2 S •
1-3-5
2 ■ 4 • G • 8 '
3 _ 1*■3 ! •5
4 ! 2* -4» -6*
• = 1 :
o
■x ’
1
2
+
l s -3 ! l'-3 ! -5 !
2 S - 4 ! ■ 6 2 ! • 4 S - 6* • 8 + ' ’ ‘
o
7t
Das genüge!
Mit rekurrenten Reihen beschäftigt sich Ginn. Franc. Mal-fatti 2 ). Kr knüpft an Lagranges grundlegende Untersuchungenan. Ist Ay x + Uy x + 1 -f • • • + Xy x + n = 0 die Relation, die je (n -f 1)aufeinander folgende Reihenglieder verbindet, dann ist
y x = aaf + bß r -f- cf ■ ■ •
das allgemeine Reihenglied, wobei u, ß, y, . .. die Wurzeln der Glei-chung A + Bt -r • • • + Xt" = 0 sind. Dabei werden cc, ß, y, .. . von-einander verschieden angenommen. Die Behandlung gleicher Wurzelnhatte Lagrange geliefert; aber Malfatti findet sein Verfahren in-korrekt, zeigt den Fehler an einem Beispiele und ersetzt es durchein anderes, das er im Falle zweier und dreier gleichen Wurzeln er-läutert (vgl. aber auch S. 295). —
Eine eigentümliche, der Differentiation, und eine andere derIntegration ähnliche Rechnungsart bespricht Euler 3 ) in einem kurzenAufsatze. Ihm ist aufgefallen, daß die Formeln für die Reihensummen1" + 2" + 3" + • • • + x ” bei aufeinander folgenden ganzzahligenWerten von n in engem Zusammenhänge stehen. So kann man aus
l 4 + 2 4 + • • • + x A = 4- x b + * x* + 3 x s + 0 • x 2 — - 1 x durch Inte-
o 16 oU
9 Mein. mat. fis. Soc. Ital. III, 1786—1787, p. 174.p. 571. *) Xov. Act. Acad. Petrop. VI, 1788, p. 3.
*) Ibid. III, 1786,