Reihen.
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gration der rechten Seite und gleichzeitige Multiplikation mit 5 herleitenl 5 + 2 5 + • • ■ + x b = -*■ x 6 + -*■ x 6 -f -p;x 4, + 0 • x* — x 2 + cst. In
ähnlicher Weise geht er von n auf (n — 1) zurück. Größere Wich-tigkeit können wir dieser gelegentlichen Bemerkung nicht zu-sprechen. —
Aus dem Jahre 1787 ist kaum etwas beizubringen. Denn dieArbeit von E. Waring 1 ), deren Titel auf Reihen hinweist: „Wertealgebraischer Größen ausgedrückt durch konvergente Reihen“, ist inWahrheit algebraischer Natur; sie rechtfertigt ihren Titel nur durcheine ungerechtfertigte Benutzung des binomischen Lehrsatzes für ge-brochene Exponenten. Am Schlüsse gibt sie eine historische Über-sicht über die bis zur damaligen Zeit unternommenen Versuche, dieAnzahl der positiven und der negativen Wurzeln einer algebraischenGleichung zu bestimmen.
Wir haben jetzt auf eine umfangreiche, in Buchform erschieneneSchrift von Johann Friedrich Pfaff einzugehen 2 ): „Versuch einerneuen Summationsmethode nebst anderen damit zusammenhängendenanalytischen Bemerkungen“.
Pfaff beginnt mit einer Reihe literarischer Notizen. Im zweitenAbschnitte setzt er seine Methode auseinander, die als Hilfssätze diebedenklichen Gleichungen
1 — 1 + 1 — 1 H-= y und l m — 2"' + 3 m — 4"‘ H-= 0
benutzt. Handelt es sich nun z. B. um die Reihe
sin (p — sin 2 (f + * sin 3 <jp — • ■ •,
so setzt Pfaff für jedes Glied die Potenzentwicklung nach dem Bogenein und faßt die Glieder von gleichen Exponenten in cp zusammen.So entsteht mit Benutzung der obigen fragwürdigen Resultate
cp ■ (1 - 1 + 1 - 1 + • • •) - 3 ; (1 - 2* + 3 2 - 4 2 + • • •)
+ 51(1 2 4 -j- 3 1 4 4 + •••) — ••• = y <p,
also merkwürdigerweise etwas Richtiges. Ähnlich wird
o o
sin2qp , sin 3 cp , siii(p r sin2qp r . sin3qp r ,
sin cp — 0 -v — • • • und - -- + - —r • • •
7 4)271—1 1 — 1 1»* 2 1n 3 W
behandelt. Im letzten Falle ist die Summe nur dann angebbar, wenn
l ) Phil. Transact. Lond. 1787, p. 71.