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Abschnitt XXI.
r und in zugleich gerade oder zugleich ungerade sind. Pfaff findetfür die letzte Summe 0, wenn m < r; dagegen + wenn ni = r
ist. Ebenso werden Reihen
n s ' J 1 sinnqp r . , w^cosnqp'’
^ ± „*_1I mul Zi X
n n
untersucht und mittels der Substitution X = ft}/— 1 umgeformt. Aufweitere Einzelheiten gehen wir nicht ein, da die Grundlagen seinerBeweisführung zu wenig fest sind.
Aus dem Jahre 1789 haben wir eine kleinere Arbeit Eulers zu er-wähnen 1 ), in der er darauf aufmerksam macht, daß die Substitutionx = r (cos cp + ]/— 1 sin cf ) von der Summe der Reihe
A + Bx + Cx 2 + Dx s + ■ ■ •auf die Summen der beiden Reihen führt
und
A -f Br cos <jr + Cr 2 cos 2 cp -\- Br 3 cos 3 qr + ■ • ■
Br sin cp + Cr 2 sin 2 cp -f- Br sin 3 cp + • • •
(vgl. S. 268j. Diese Methode verwendet Euler auf die binomischeFormel. Unter Vernachlässigung der Konvergenzfrage stößt er dabeiauf Resultate wie
1—4 cos cp + 10 cos 2 cp — 20 cos 3 cp + ■ ■ ■ = cos 2 <p : ^16 cos ^
und 1 — 3 + 5 — 7 + 9 — ••• = 0.
Unter den Veröffentlichungen der Petersburger Akademie imJahre 1790 befinden sich zwei Abhandlungen Eulers 2 ), deren erstean eine frühere des Jahres 1781 anknüpft (vgl. S. 276). Es handeltsich um die Summen
(")©+(?)(„;-.)+(“)(?+)
die für ganze Werte von m, n, p bewiesen werden und die auf be-liebige Werte von m, n } p ausgedehnt werden sollen; also auch
hier wieder um eine Interpolationsaufgabe. Der Wert von Q für
i ^
beliebige p,q wird mit Hilfe von j'{l]^dx = p\ definiert, und dann
ü
’) Nov. Act. Petrop. VII, 1789, p. 87.
*) Ibid. VIII, 1790, p. 32.