Reihen.
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die vorsreleirte Summe als ein bestimmtes Integral dargestellt. Setzt
o o o o
man / £ a “ x (l — x?) b dx = A, so wird
man
i
a -|-(i>—1)6
a -f 26
1 1 — x ! i ) 6 dx
«-)-(»’ — t) 6 + c
c a + 6 + c a + 'J 6 + c
*.)
0
und das leitet zur Lösung hin. Auch mit Aufgaben folgender Artbeschäftigt sich Euler in dieser Arbeit: Er setzt
a
(1 - a 6 ) * = 1 + Auf + Bx 3b + Cx 3b H-
und
a
(1 _ ^) _ fl = l + + 23a 24 + ( ix 3b -
und bestimmt die Summen der Koeffizienten-Aggregate
1 + 9U + SJ» + ■ ■ ■, A + %B + »C + • • •, B + 9tC + 23D - • ■
Sebastiano Canterzani untersucht 1 ) die Umkehrung der Reihey - a x + a"or -j- u"x 3 -j- ■ • -, mag die rechte Seite dabei bis insUnendliche gehen oder im Endlichen abbrechen. Er findet
x — l'y + V'y 2 + l>’"y 3 + • • •
—, ■ • • und gibt die
ib'b'd
mit V = , b"
a
Regel für die Bildung der Zähler an. Die erhaltenen Resultate ver-wendet der Verfasser bei der Lösung der Gleichung
0 = — y + a x + a"x’ + • • ••
Konvergiert die Reihe für x, dann konvergiert sie, wie dem Verfasser„scheint", nach der, dem absoluten Werte nach, kleinsten Gleichungs-wurzel, falls diese reell ist; das hatte bereits E. Wariug angegeben.
Von den Eulerschen Untersuchungen über Reihen gehören zweiins Jahr 1791. Die eine 2 ) liefert für das, durch Rektifikation dergleichseitigen Hyperbel geometrisch erlangte Resultat
1-5-9
7 11 • 15
7 ■ 11
l
einen sehr einfachen direkten Beweis. Euler leitet auf dem gleichen
Wege ■"” 0
n + 0 (t -|_ 2 0
b & + 0 Ö + 2Ö
b b + 0
sowie
*) Mem. mat. fis. Soc. Ital. V, 1790 *) Kov. Act. Petrop. IX, 1791, p. 41.