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Abschnitt XXI.
a a b a b c a
6 + ö + i + o'c+e + 0 'c+e'rf-)-0 + ''' = 0
her.
Die andere 1 ) knüpft an folgende Tatsache an. Setzt man2 cos qp = x, so wird für positive ganze n, die > 2 sind
2 cos ntp = x” — nx”~ 2 + — (n — x” — i — n - ( ' n ~ ^ ~ °' 1 x ” -6
x 1-2 1-2-3
» (h — 5) (n — 6 ) (w — 7) 2 _
1 • 2 ■ 3 • 4 ’
falls man sich auf die nicht negativen Potenzen von x beschränkt.Für n = 0, 1 und alle negativen und gebrochenen n ist die Formelaber falsch. Wie erklärt sich das? Euler setzt cos 93 oder sin cpgleich z und cos n cp beziv. sin »cp = s. Dann giltd 2 s( 1 — z 2 ) — zdzds -j- n 2 sdz 2 = 0.
Die Integration liefert, wenn f, H willkürliche Konstanten bedeuten,s = f • (e + V? —T> + g ■ l z — ]/z 2 -~T)".
Die dem Problem entsprechenden Werte von f\ </ werden durch Reihen-entwicklungen gefunden. So erhält man
s_ > ;• - )
+ (r-tp- ! +«r-' + -)
als richtige und allgemein gültige Formel; bei positivem, ganzenh > 2 fallen die Potenzen mit negativen Exponenten von selbst fort.
An diese Arbeit knüpft Xik. Fuß einige Untersuchungen 2 ), indenen er die Euler sehe Formel herleitet durch Entwicklung von
(y + Vy r - T> = Alf - Bf - 2 + Cf - 1 — Df ~ 6 + ....
Eine andere Arbeit Eulers aus dem Jahre 17)10 (siehe S. 259)gab Pfaff, der sich mit der Herausgabe von Eulers hinterlassenenSchriften beschäftigte, Veranlassung zu weiteren Forschungen. 3 ) Die
X
Reihe ^ arctang<W oder in damaliger Schreibart SA taug läßt* = 1
sich leicht unter der Annahme <<*) = durch Zerlegung
der einzelnen Summanden in (Ä tangf(x) — Atnngf(x + 1)) summieren.Man erhält dabei als Summe Htang/’(1) — A tangf(x + 1). Wird
4c = b 2 + 4 « 2 — 1 und gesetzt, dann ist eine solche
Darstellung von <<*) möglich, und man erhält
*) Xov. Act. Petrop. IX,1792, p. 123.
1791, p. 54.
*) Ibid. p. 205.
*) Ibid. X,