Reihen.

29Ö

A tang • . a = .4 tang ■ ,~ a ? , ■

°r + lii + c ° (b -f- D ( x + 1) + ’-c

i

Ähnlich läßt sich die Form r~^r\ hei ganzzahligem r be-

handeln. Hierbei kann z. B. f x ) = -j—y- genommen werden, falls

x* + + c ° '

4 n *

4c = b 2 H — r , - r 2 gesetzt wird. Pf aff wendet diese Methode noch

weiter an, um im zweiten Kapitel allgemeinere Fälle summierbarer

Beihen aufzustellen. So berechnet er ^ ---, wenn

E x +b-E~ x + c’

= ,„ C , s. + Tf'- a i s H die Größen———-——- bilden dabei

E (E -f-1)* (E — 1) J ’ a

nach Riccatischer Bezeichnung (S. 261) eine „rekurrente Reihe mitAppendix“.

Wir besprachen oben (S. 290) eine Arbeit Malfattis, der einenPunkt in Lagranges Untersuchungen über rekurrente Reihen alsfalsch erkannt und verbessert hatte. Lagrange selber war aufdiesen Fehler schon bei der Drucklegung seines Aufsatzes gestoßen; ergibt nun jetzt 1 ) eine neue Bearbeitung der Frage nach gleichenWurzeln, und gestaltet sie direkter und übersichtlicher als Malfatti.Seine Resultate für Wurzeln zweiter, dritter, vierter Multiplizität tretenin verschiedener Form auf; am Schlüsse der Abhandlung wird einefür alle Wurzel-Multiplizitäten gemeinsame Form den Mathematikernzum Beweise vorgeiegt.

Eine wunderliche Arbeit Jean Trembleys stammt aus demJahre 1794. 2 ) Der Verfasser knüpft an den vierten, über Ketten-brüche handelnden Aufsatz der Opuscula Eulers (vgl. S. 284) an, undbringt zunächst eine Reihe Eulerscher Resultate auf die elegante Form

1. — n + 2/(— n + 1) + 3/(— n + 2-) + 4/(— n -f B) + • • • = n + 1.

Für den Beleg der Gültigkeit aber begnügt er sich mit einem un-strengen Induktionsbeweise; und er macht sogar eine Methode ausdieser Art von Beweisen. Er setzt z. B. als Annäherung

n 4 . r y» = 1 ±Ax±2Lx'+Cx'

' ' 1 -)- ax -f- bx- -|- cx s ’

wobei er die Konstanten in Zähler und Nenner der rechten Seitedazu benutzt, die Glieder der rechten Entwicklung so weit als mög-lich mit denen der linken Seite in Übereinstimmung zu bringen. Dannwandelt er den Bruch rechts durch sukzessive Divisionen in einenKettenbruch um und kommt vermutungsweise so auf das Gesetz,

*) Mem. de Berlin 1792, p. 247.

*) Ibid. 1794, p. 109.