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Abschnitt XXI.

nach dem wohl die Kettenbruch-Eniwicklung der linken Seite fort-schreiten kann. Auf diese Art leitet er voller Stolz, immer mit Be-tonung der Einfachheit seiner Methode, Lagrangesche und Lam -bertsche Resultate her, die natürlich auf minder einfachem Wegevon ihren Entdeckern erhalten worden waren.

Pietro Paoli (Petrus Paulus) beginnt eine zur Reihentheoriegehörige Abhandlung 1 ) mit folgender Angabe: „Lagrange hat be-merkt, daß das allgemeine Glied rekurrenter Reiben von der Integra-tion einer (endlichen) Differenzen-Gleichung abhängt. Bisher hat nie-mand wahrgenommen, daß auch die Summation einer rekurrentenReihe durch die Integration einer ähnlichen Differenzen-Gleichung ge-leistet werden kann.“ Kennt man das allgemeine Glied einer rekur-renten Reihe, so kann man auf verschiedene Arten ihre Summefinden; die Päolische Methode kann aber auch ohne diese Kenntnisauskommen. Die Reihe sei y 0 , y lt y.,, • ■ •, y x , ■ • ■; es bestehe fürjedes x die Relation ay x ff- by x _ l ff- • ■ • t py x _ n = 0. Dann ist

y x = Am* ff- A^m* ff- A 2 m* + • ■ •,

wo m, wf n m. 2 , • • • die Wurzeln von at m ff- bt m ~ l + • • ■ + p = 0 sind.Setzen wir die Summe z x = y 0 ff- y x -f- y. 2 -f • • • ff- y x , so folgt

ff* = ffr-1 + fft-1 = ffr-2 + tJx-1,und wenn man diese letzten Gleichungen der Reihe nach mit n, b, c, ...multipliziert und zueinander addiert, so entsteht

az x + (b - «)z x _ l + (c — b)e x _ s H-= °-

Demnach bilden auch die z x eine rekurrente Reihe; man hat also dieGleichung a«’" + 1 + (b — a) u m ff- (c — b) « m_1 ■ ■ ■ — p = 0 aufzu-

lösen; aber offenbar sind ihre Wurzeln gleich 1, m, m 2 , m. 2! • ■ •, unddaher ist z x = C 0 + Cm* -f C^mf ff- C 2 m. 2 * ff- • • ■. Die C lassen sichnun leicht aus linearen Gleichungen bestimmen, die aus den Aufangs-werten z lt z 2 , ■ ■ ■ hervorgehen. —

Hier ist vielleicht der beste Platz für die Besprechung einerArbeit, die sich zwar nicht auf Reihen, sondern auf fortgesetzte^ Pro-dukte bezieht, aber doch wegen deren Umwandlung in unendlicheReihen nicht ganz unangemessen an dieser Stelle untergebracht werdenkann. Es handelt sich um einen Aufsatz von Chr. Kramp über dieWallisschen Brüche 2 ); sie ist der Ausgangspunkt der Untersuchungenüber „Fakultäten“. Kramp setzt

a (« ff- r) [ a ff- 2r) • • ■ (a ff- [« — l]ff) = a”" r -,

') Mcm. Acad. Mantova I, 1795, p. 121. *) Xov. Act. Acad. Elect. Mogunt.

sei. quae Erfurti est; I, 1797 (1799), p. 257.