Reihen.

297

dann gelten die Formeln

a (m + »)xr = a mnr . ( /( _|_ wr ynr

und

a mnr . = a nrtr . ^ _j_ ,„,.)<■»r

Wenn man hierin n = ^ setzt, so ergibt sich

>■ ’ °

b — a b — a

a mnr . ymnr — a r : (rt + 1)1 r) r ;

für m = ’t wird jeder Faktor des letzten Divisors gleich (-o • r), undbei b — (i = d entsteht daher die Gleichung

o

a {n + r) (« -(- 2 r) (o + 3 r) ■ ■ ■

(n ± d) (a + (I + r) (n + rf + ‘2r) (o + rf + 3r) ■ •

>Y

Durch diese Formel meint Kramp den Wert der linken Seite be-stimmt zu haben; er übersieht dabei, daß die rechte Seite nur eine Be-zeichnung ist. Er geht dann zur Umwandlung der Fakultät

a mnr = a' n '+ A fl”*- 1 »- + lia m --r- + Ca m ~ 3 r 3 -\ -

in eine Reihe über und bestimmt die ersten Koeffizienten

.1 __ m — l l 2 71 _ m — l l m

m (m + xj — m -f 1 2 ’ (m — 1) (m -f- lj — m 4- l ' — 12 :

3C _(m — 2) (»i 1)

(»« — 1 ) (111 -)- 1 )m — 1 1

»7+ 1 ’ T ‘

in — 112

A,

Die erhaltenen Resultate werden auf die Entwicklungen

sin m -X m (1 — m) (1 -f- m) (2 — » 1 ) (2 -j- m) ■ ■ ■

sin 11 -x n (1 — «) (1 n) (2 — n) (2 + n) ■ ■ ■ ’sin n 7t 2 11 (2 — 2 n) (2 2 n) • • -

cos H7t (1 — 2 n) (1 -j- 2 n) (3 — 2 n) ■ ■ ■ ’

angewendet. An und für sich bedeutet die Arbeit nicht viel; sie istjedoch historisch interessant als Ausgangspunkt der Fakultäten-Lehre.

Im Jahre 1798 wurden die letzten Euler sehen Arbeiten überReihen, die in unsere Epoche fallen, von der Petersburger Akademieveröffentlicht. Die beiden ersten dieser Abhandlungen 1 ) beschäftigensich mit der Entwicklung einer Funktion, die er in der damaligenFunktional-Bezeiclinung U: cp schreibt, in eine Reihe von der FormA + J> cos cp + C cos 2 cp -f- Deos 3 cp + • • • oder, nach Euler , umr: cp = (0) + (1) cos cp + (2) cos 2 cp ~ (3) cos 3 cpDie zweite Bezeichnungsweise wählt er, weil bei der ersten ,,bald dasganze Alphabet erschöpft sein würde“. Soll die Funktion r: cpstetig sein, so müssen, wie Euler behauptet, die Koeffizienten sehr

') Nov. Act. Petrop. Xr, 1793 (1798), p. 94 und p. 114.Cantob, Geschichte der Mathematik IV.

20