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Abschnitt XXI.

schnell abnehmen, da sonst z. B. bei der Vermehrung des Argumentsip um die kleine Größe das Glied (1000) cos lOOOqp in(1000) cos(n- -f 1000qp) = — (1000) cos (lOOOqo)

übergehen würde, was die Stetigkeit gefährden könnte. Die späterenKoeffizienten dürfen demnach gegen die früheren vernachlässigtwerden. Nun bildet Euler, um A zu bestimmen,

0 r: 0 + I ■ x = rf. + (7 + i?+fr + t7 + •■•

dann

und

= (0) + (2) + (4) + (6),...;

\ T: 0 + y r: * + l r:n = A + E + J+N+--.

= (0) + (4) + (8) + • • •;

V r: 0 + T r= 4 + T F: 2 + 4 r: “V + v r ' n

= A + J + R + • • • -= (0) + (8) H- (16) + ■ ■ •.

Im letzten Resultat ist (0; schon als hinreichend genauer Wert derrechten Seite anzusehen, so daß die Summe der linken Seite = A — (0 )gesetzt werden kann. Die weiteren Koeffizienten in ähnlicher Art zuberechnen, würde viele Mühe machen. Euler wendet daher andereMethoden an, die sich auf die Summation von

1 + cos (p + cos 2 cp + • • • + cos n<p

stützen, wo nq> ein Vielfaches von %das Resultat, daß, wenn

2

lf-lAl n ^ I 2 Xtc

= — I : 0 4- cos T: - \- cos -

2 nn n

sein soll. Dabei erlangt erF : -- + •■■ +4-cos A.Tr:.T

n 2

gesetzt wird, die Bestimmung

— = (A) + (2 m — A) + (2 m -)- A) + (4 m — x) + (4 m + A) -(-•••

folgt.

So interessant diese Arbeit auch ist, so können wir uns dochnicht gegen ihre Mängel verschließen, die zum Teil in unbewiesenenAnnahmen über die Konvergenz sowie über die Größe der Koeffi-zienten, dann über die nur näherungsweise erfolgende Auflösung desProblems beruht. Für die Zwecke der Astronomie, die bei derUntersuchung an erster Stelle in Betracht kommen, bedeutet das Re-sultat eine beträchtliche Rechnungs-Vereinfachung.

Ein ungemeiner Fortschritt wird durch die unmittelbar fol-gende Abhandlung repräsentiert, die am gleichen Tage, dem 26. Mai1777, wie die erste Arbeit der Akademie vorgelegt wurde. Hier tritt