Reiben.
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zum ersten Male die gebräuchlich gebliebene Koeftizienten-Bestimmuugdurch Integrale
O
n
7t
r ■ d(f ■ COS H (p
und
o
o
auf. Dieses Resultat benutzt Euler dann zur Transformation von
r: cp = (0) + (1) cos cp + (2) cos 2<p
in die Reihe, die nach Potenzen von cos cp fortschreitet, und die wiretwas abweichend von der Bezeichnung der Original-Arbeit
= [0j + 11] cos rp [2 ] (cos <jp) 2 + [3] (cos cp) 3 + ■■ ■schreiben. Dabei kommt es natürlich auf die Berechnung von In-
O
7t
tegralen f cos xcp ■ (cos cpYdcp an. Es ergibt sich:
«.
0
0
( 0 ) = [ 0 ] + 1 [ 2 ] +
6-5-4
4-812
und wenn n > 0 ist:
(” + 0 (» + 3 )
(») = f»'J +
L» + ?] +
[n + 4j
(n -f 6) (n -f 5) (n + 4)
[n + GJ
Die beiden letzten Aufsätze Eulers 1 ) beschäftigen sich mitZyklometrie, d. h. mit der Frage nach expediter Berechnung desM ertes der Zahl ■x. Euler gibt zunächst eine kurze historische
Übersicht über die Resultate von A. Sharp, J. Mac hin und
(i. de Lagny (vgl. Band III 2 , S. 668—669); dabei erklärt er dieArbeit des letzteren, der die Berechnung auf 100 Stellen durchführte,für eine mehr als herkulische Leistung. 2 ; Danach stellt er eine neueFormel auf, die bedeutende Vorzüge gegen die Leibnizsche Formelbat. Bedeutet s den zur Tangente t gehörigen Bogen, so wird
Auf verschiedenen Wegen, einmal durch eine Reduktiousformel, einmaldurch eine Integral-Transformation, wird die Richtigkeit dieser Be-ziehung nachgewiesen. Die einzelnen Glieder lassen sich deswegen
*) Xov. Act. Petrop. XI, 1793 (1798), p. 133 und p. 150. *) Euler über-
sieht hierbei eine Arbeit, auf die im Briefwechsel von Lambert IV, p. 4s0(Schreiben von Wolfram an Lambert) aufmerksam gemacht wird: B. Lamyhat 7t bis auf 128 Ziffern geliefert.