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Abschnitt XXI.

bequemer entwickeln als bei der Leibnizschen Formel, weil jedesdurch eine einfache Multiplikation aus dem vorhergehenden abgeleitetwerden kann. Ein weiterer Vorzug liegt darin, daß alle Glieder vongleichem Vorzeichen sind, so daß eine Addition der Glieder genügt. Wird

die neue Formel bei ,-r = 4M taug * + 4 A tangi verwendet, so entsteht

noch bessere Formeln erhält man für x = 8 M tang 1 + 4 A fang * ,

da die auf den zweiten Summanden bezügliche Reihe nach Potenzen

2 13 .

von fortschreitet, und für jr = 20 Mtang — + 8 Mtang , wo dieloo <

144

erfolgt.

entsprechende Entwicklung nach Potenzen von lo0000

Der Ausgangspunkt der letzten Abhandlung (ibid., p. 150) ist die

Integralgleichung

/ 2 2 x -4- x ~ j f* dx ( , , i X

dx ^ /* xdx /' x^dx= -J i + x f + V i + x* + ,/ 4 + *‘ '

Nimmt man die Grenzen der Integrale gleich 0 und x, so wird ihr

Wert gleich A tang -

dies Integral bezeichnet Euler mit dem

2 — x ’

astronomischen Zeichen für die Sonne und ähnlich die drei Integralerechts mit den Zeichen für Saturn, Jupiter und Mars :

C dx r C xdx ,, / x“dx

J*+*•-”■ J.+7- 24 ’

Er schreibt also @ = 2b + 22i + c? = -4 tang

2 — x

Nun ist die Ent-

wicklung des Nenners der Integrale nach Potenzen von — leicht. Die er-langten Reihen werden für x = 1, x = * und x = * benutzt, wodurchman auf Mtangl, A tang * und Mtang* kommt. Die beiden letzten

n j 03 0 i

Reihen, die nach Potenzen von ■ ^ bezw. - ^ fortschreiten, konver-gieren recht gut und liefern den Wert für

4 = 2 A tang -1 + A tang y

mit ziemlicher Leichtigkeit als Aggregat von sechs unendlichen Reihen.