Reihen.
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Im gleichen Bande der Petersburger Veröffentlichungen kommtNik. Fuß 1 ) auf ein, früher von Euler behandeltes Thema zurück(s. S. 294). Es handelt sich um die Entwicklung von cosnqp == s nachPotenzen von cos cp = z, und bei sin « 9 ? = vY 1 — z 3 um die von vnach Potenzen von z. Fuß stellt die schon von Euler angegebeneDifferentialgleichung d 2 s(z 2 — \)-\- zdzds — n 3 sdz 3 =0 auf und integriertsie mit Hilfe unbestimmter Koeffizienten in Gestalt einer Reihe, dienach steigenden Potenzen von z fortschreitet, statt nach fallenden,wie bei Euler. Dabei wird das Eintreten von Ausnahmefällen ver-mieden.
Wir haben unsere Blicke jetzt wieder nach England zu richten,wo uns die Transactions von Edinburgh und die von London einigesBemerkenswerte bieten. Da sei kurz einer Arbeit von James Ivory 2 )gedacht, der eine Formel schneller Konvergenz für den Umfang einerEllipse aus der Entwicklung der Potenz (er + b 3 — 2 ab cos <p)" her-leitet. Auf den Kreis angewendet liefert diese Formel
4
XX
-1++
P- P2 2 • 4 2
P- 1*. 3 S2 2 -4 2 -G 2
P- p • 3 S • 6*2*■4 2 ■ 6 S ■ 8 S
als besonderen Fall.
Vier Aufsätze von John II eil ins 3 ) beschäftigen sich mit kon-vergenten Reihen. Der erste leitet eine Hilfsformel für die Trans-formation gewisser Reihen her. Durch zwei verschiedene Integrations-x" l ~ 1 dx
Ausführungen von-- wird die Gleichung
x m | x m + n | x m + 3n + = _ x m _ nx m + n
m m-j-n m + 2 n m(l — x") n(m-}-n)(l — x") 3
+
n ■ 2 n ■ x
Tn-\--n
n • 2 n • 3 n x
m + 3 n
m (m h) (i)1 -|- 2 n) (1 — x n ) 3 m (»» + n)... (in -|- 3 n) (l — x”) i
gefunden; durch sie wird dann die zyklometrische Formel
6 = Yi G + 9 lgl + 17 Hi +••■)+ (t + pTsT + • • •)
- 3^3(3 + iP8i + ■••)-j, 7 .Vj G + pGi + ■••)
umgestaltet, indem die Hilfsgleichung sich auf jede der vier Klammer-