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Abschnitt XXI.
reihen an wenden läßt. Die entstehenden Reihen schreiten etwa wiedie Potenzen von 1 fort.
o0
Die gleiche Transformation wird in dein zweiten Aufsatze ver-wertet, der sich die Aufgabe stellt, den log 10 möglichst expedit zu
berechnen. Es wird log 10 = 3 log 2 -j- log ^ durch drei Reihen her-
gestellt, die ungefähr nach Potenzen von 1 fortschreiten. Xocli be-
quemere Reihen werden durch log 10 = 10 log 5 + 3 lo» 1024 erlangt
° ° 4 ° 1000 °
Iin dritten Aufsätze wird die Reihe
ax + bx s + cx 3 -+- dx 4 + ex 5 -f- • • •,
die bei mäßig abnehmenden positiven Koeffizienten a, b, c, . . . undeinem x, welches nur wenig kleiner ist als 1, sehr gering konvergiert,in die Summe zweier Reihen
(ax — bx 2 + cx 3 — dx A + ex 5 — •••) + '2(bx s + dx 4 + />* + • • •)
zerlegt. Die erste Reihe kann nach der Methode von F. Maseres(vgl. S. 271) behandelt werden; und die zweite Reihe, die offenbarschon für sich besser konvergiert, gestattet die gleiche weitere Be-handlung, wie sie bei der ursprünglichen Reihe vorgenommen wurde.Die Wirksamkeit dieser Methode soll durch das Beispiel
. X 1 , X
* + o- +
-I- — +3 ^ 4 '
für
X =
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10 >
das recht ausführlich behandelt wird, klar gestellt werden.
Der letzte Aufsatz von Hellins beschäftigt sich mit einer Auf-gabe der Störuugstheorie: Der reziproke Wert von (a — b cos x) n istin die Reihe A + Bcosx -+- C cos 2a; + BcosSx -f ■ • • zu entwickeln.Der Weg führt über Summationen mäßig konvergierender Reihen.Der Verfasser bemüht sich, sie in besser konvergierende umzu-wandeln.
Im Bande 86 (1796) der Ph. Tr. Lond. befindet sich auch einfranzösisch geschriebener Aufsatz von Simon L’Huilier 1 ), in demdie Reihen für die Exponentialfunktionen, für die Logarithmen undfür die Kreisfunktionen auf elementarem Wege abgeleitet werden; vorallem wird die Verwendung des Unendlichen dabei vermieden. Beiden Herleitungen fällt dem Verf. die Analogie zwischen den Loga-rithmen und den trigonometrischen Funktionen in die Augen.
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