Imaginäres.

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Imaginäres.

Man hätte der Ansicht sein können, daß über die Meinungsverschie-denheit, die zwischen Leibniz und Johann Bernoulli in betreff derNatur der Logarithmen negativer Größen bestand, durch die genialeArbeit Eulers, die im Band III 2 , S. 722 ausführlich besprochenwurde, endgültig entschieden sei. Dem war nicht so! Und derGrund dafür lag nicht zum mindesten in der freieu Art und Weise,mit der Euler in der Sitte seiner Zeit das unendlich Große und dasunendlich Kleine verwendet hatte; freilich auch darin, daß er in seinerArbeit nicht darauf eingegangen war, alle früheren falschen Be-hauptungen auf ihren wahren Wert zurückzuführen, und alle auf-gestellten Paradoxa aufzuklären. Diese tauchten daher wieder undimmer wieder auf. —

D’Alembert veröffentlichte 1761 in seinen „Opuscules mathe-matiques“ 1, Paris , einen schon mehrere Jahre früher geschriebenenAufsatz „Sur les logarithmes des quantites negatives'*, in dem er fürBernoullis und gegen Leibniz ’ Anschauungen eintrat. Er führteine Reihe von Gründen dafür an, daß log (— «) = log (+ a) odernach der damaligen Schreibweise, daß 1 ■ — a = l ■ -f a sei. In ersterLinie beutet d’Alembert dabei eine etwas unbestimmte, von Neperherrührende Definition des Logarithmenbegrift's aus: „Logarithmensind eine beliebige Folge von Zahlen in arithmetischer Progression,die einer beliebigen Folge von Zahlen in geometrischer Progressionentsprechend zugeordnet sind; nur mit der Einschränkung, daß der Nullder arithmetischen Progression stets die Einheit der geometrischenentspricht'*. Man hat also nach dieser Auffassung als

Logarithmen . .

1

1

CD

2a,

3 a, . .

., na,

Numeri . .

1 1 1 7

■’ b-’ b >

K

h\

b",

bei beliebigen positiven oder negativen Zahlen a und b. Davonmacht d’Alembert häufig nicht ganz einwandfreien Gebrauch: Be-hauptet Euler unter der stillschweigenden Voraussetzung einer posi-tiven Basis, die Logarithmen negativer Größen seien „unmöglich*',d. h. komplex, so nimmt d’Alembert h negativ an und erhält dabeifür gewisse negative Zahlen auch reelle Logarithmen. Schließt Euler ,aus der Bernoullischen Annahme log (+ «) = log(— a) müsse not-wendig für jedes a folgen log (a) = 0, so erklärt d’Alembert , dasberge keinen Widerspruch, denn man brauche ja in dem oben ge-gebenen Systeme nur a = 0 zu setzen, um ein Logarithmensystem zu