Imaginäres. 305

geliört u = c. Die von 0 aus gerechnete Abszisse ist also derLogarithmus der zugehörigen Ordinate. Bernoulli behauptete nun,die Logistica habe noch einen zweiten Linienzug y = — c r , eine„Gefährtin“ (comesl, das Spiegelbild des ersten Zuges an der a:-Aclise.Leibniz leugnet dies. D’Alembert tritt auf die Seite Bernoullisund gibt folgenden Beweis: Ist in der obigen Figur AQ = QP, soist die zu Q gehörige Ordinate = Y AB ■ PM = + QS. Hier stoßenwir also auf den oben erwähnten Fehlschluß, daß aus « 2 = V aucha = b folge. Das Gleiche beweist d’Alembert analytisch auch fol-gendermaßen: Die Gleichung y = <? gibt für unendlich viele Wertevon x einen doppelten Wert von y, sobald nämlich x ein rationalerBruch mit geradem Nenner ist; also hat die Logarithmica auf dernegativen Seite der Achse unendlich viele, vielleicht diskrete PunkteAn zweiter Stellehandelt es sich umdie Bernoulli seheDarstellung der Loga-rithmen mittels einergleichseitigen Hyber-

bel y = , die auf o-

ilire Asymptoten alsAchsen bezogen wird.

Ist ,4A= 1, AR = y,dann wird die Fläche

NPSR = log y.

Diese Beziehung zwi-sehen der OrdinateAP und der trapezartigen Fläche NPSI{ wird jetzt auch für denoberen Teil der Hyperbel als gültig angesehen, so daß z. B. zu derOrdinate Ar als Fläche

NPQOA + AGpn + np s r

gehört. Dann wird behauptet, es sei AGpn bei i)( = dJ gleichdem negativen Betrage von NPQOA und npsr gleich NPSII ;daraus folge dann, daß zu Ar die Fläche NPSR gehöre, d. h. dasgleiche Flächenstück wie zu AP ; somit sei

lo g(HE) = log (Ar) = log ( AR).

Es ist auffallend, daß diese Schlüsse auf alle möglichen Weisenbekämpft worden sind, nur nicht dadurch, daß die Gleichung

F.iK