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Abschnitt XXI.

AGpn = — X1 J Q0A

der Behauptung cc — = 0 äquivalent wäre.

Gegen die d’Alemhertsehen Anschauungen und Behauptungenerhob ein italienischer Chevalier, Daviet de Foncenex seine Stimme 1 ).Sein Aufsatz ist hauptsächlich durch den Versuch eines Beweises derWurzel-Existenz algebraischer Gleichungen bekannt, den C. F. Gaußin seiner Inaugural Dissertation eingehend kritisierte. Wir wolleneinem früher ( Band IV, S. 119) gegebenen Hinweise folgen, und nebendem weiteren Inhalte des Foncenexschen Aufsatzes über die iinairi-

P

nären Größen auch diesen besonderen Beweis in den Bereich unserer Be-sprechungen ziehen; dazu sind wir um so mehr berechtigt, als es sichbeim Foncenexschen Beweise nicht eigentlich um die Existenz derWurzeln, als vielmehr darum handelt, zu zeigen, daß die als existie-rend vorausgesetzten Wurzeln einer jeden algebraischen Gleichung dieGestalt A + P]/— 1 besitzen. Die Frage nach der Existenz der Wur-zeln seihst war zu damaliger Zeit noch nicht mit der nötigen Schärfegefaßt worden.

In § 5 der Abhandlung zeigt Foncenex zunächst, daß die Wur-zeln einer quadratischen Gleichung mit reellen oder komplexen Koef-fizienten in die F'orm c + d y '— 1 hei reellen c und d gebracht werdenkönnen. Dann betrachtet er eine algebraische Gleichung in z desGrades r, wo r in seine verschiedenen Primzahl-Potenz-Faktoren zerlegt

= 2 m p ■ q- s ■(■■■= 2 m ■ F

ist; er versucht nun einen quadratischen Faktor (z 2 — uz + 31) desvorgelegten Gleichungspolynoms herzustellen. Dabei hängt u voneiner Gleichung des Grades 2"‘~ 1 1 > ■ (2 m P — 1) ab, da u die Summeje zweier Wurzeln der vorgelegten Gleichung darstellt, also

*- r ■ (r — 1) Werte hat. Die Gleichung in u ist daher vom Grade

2 m_1 Pj, wo 1\ ungerade wird. Für dieses neue Gleichungspolynomin u wird wieder ein quadratischer Faktor (u~ — n 1 u A/J gesucht;dabei hängt ?q von einer Gleichung des Grades 2"‘ -2 P 1 • ( P 1 2 n ‘~ 1 — 1)ab. So geht man weiter, bis man nach m Schritten auf eine Glei-hung ungeraden Grades für u m _ 1 in dem Faktor

des vorhergehenden Polynoms stößt. Eine solche Gleichung un-geraden Grades hat, wie Foncenex aus Stetigkeitsbetrachtungen her-

*) Miscellanea Philosophico-mathematica Societatis privatae Taurinensis I,1759, p. 113 (der zweiten Numerierung).