Imaginäres.

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leitet, immer mindestens eine reelle Wurzel; M m _, ist also reell.Aber auch Foncenex sagt nämlich: „M m _ 1 ist, wie man

weiß, durch und durch die Koeffizienten der gegebenen Glei-

chung in z ohne Wurzelausziehung darstellbar“. Folglich hat

«*-i - «»-i • «»-2 + ^m-l = 0

eine Wurzel m + nY— 1 bei reellen m und n. Setzt man sie in

U M- 3 u rn- 2 ' ll m -3 "F 2 = ^

ein, so bestimmt sich H/ m _ 2 durch rationale Operationen 1 ); also hatauch diese Gleichung Wurzeln von der Form p + <iV -1 usw. bisman zu z- — uz + 71/ = 0 kommt, deren Wurzeln dann auch die Form-•1 -f Hy'— 1 haben. Damit wäre gezeigt, daß die vorgelegte alge-braische Gleichung r ten Grades in z das Trinom (z s — 2Az-j- A 2 -f 7F)als Faktor besitzt, also die Wurzel A + H]/ — 1 hat.

Wir haben schon hervorgehoben, daß diese Folgerungen dieWurzelexistenz algebraischer Gleichungen nicht beweisen, sondern vor-aussetzen; daß sie also nur den Zweck haben könnten, den Satz zubegründen, jede algebraische Größe stehe unter der Form A + /> ]/— 1 .Aber selbst dieser Zweck wird nicht erreicht. Denn, wie Gauß in§11 seiner Dissertation zeigt, ist die Behauptung, die Größe M xsei durch n,„_ 1 und die Koeffizienten rational darstellbar, nicht allge-mein richtig. Gauß faßt sein Urteil dahin zusammen, es wäre ein beiweitem tieferes Eindringen in die Theorie der Elimination nötig,um den Foncenexschen Beweis zu einem streDgen zu machen.

Gehen wir zur Besprechung des weiteren Inhalts der Arbeitüber! Hinsichtlich der imaginären Gleichungslösungen äußert sichder Verfasser noch nicht sehr weitblickend (§ 6): „Die imaginärenWurzeln haben keine geometrische Darstellung. In welchem Sinneman sie auch nehme, man kann keinen Nutzen aus ihnen ziehen. Manmuß bestrebt sein, sie soviel als möglich aus den Endgleichungen zuentfernen.“

Foncenex unternimmt es, die Eulerschen Resultate auf neuemund sichererem Wege herzuleiten und zugleich die Schwierigkeiten, dieBernoulli in der Theorie der Logarithmen gefunden hatte, zu be-seitigen. Sein erstes Ziel erreicht er leicht mit Hilfe der Glei-chungen des Kreises und der Hyperbel; er fügt hinzu, daß der ge-gebene Beweis von Lagrange ihm mitgeteilt sei.

Hinsichtlich der Schlüsse, die Bernoulli an die Betrachtung derFlächen gleichseitiger Hyperbeln geknüpft hatte, wendet Foncenex

b „par de pures preparations algebriques“.