Imaginäres.

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menen Standpunktes in den „Eclaircissements“ (Mise. Taur. III)sj>rieht dagegen weniger für eine Mitwirkung von Lagrange.

Um die Arbeiten d’Alemberts auf diesem Gel)iete gleich hierzu erledigen, erwähnen wir einen im fünften Bande der „Opuscules“gegebenen Aufsatz 1 ) über die Mehrdeutigkeit der Ausdrücke von der

n, -

Form V a + t>]/— 1. Seine Darstellung der Wurzeln ist völlig kor-rekt. — Ferner stammt aus dem Jahre 1778 ein Artikel über Loga-rithmen 2 ) von ihm; er vertritt durchaus noch seinen früheren, vonuns oben dargelegten Standpunkt. —

Im Jahre 1768 erschien unter dem Titel „Von den Logarithmenverneinter Größen“ eine sehr umfangreiche Arbeit von W. J. G. Kar-sten. 3 ) Sie liefert eine gute historische Darstellung der Frage undeine eingehende mitunter etwas breit gehaltene Kritik der Darlegungenund Beweise d’Alenberts (sic!). Karsten steht völlig auf derSeite Eulers. Den Hyperbel-Beweis, durch den Bernoulli dieExistenz der beiden Zweige der Logarithmica dartun will, suchtKarsten dadurch zu entkriiftigen, daß er die dabei benutzten Be-griffe der positiven und der negativen Flächenstücke kritisch prüftund ihre Anwendung auf das vorliegende Problem als unstatthaft er-klärt. Die Unhaltbarkeit des ersten oben gegebenen Beweises (S. 304)tut Karsten dadurch dar, daß er ihn auf eine beliebige Kurveanwendet, indem er deren Gleichung y = fix) durch y 1 = f(x)~ er-setzt. — Im ersten Teile seines Aufsatzes geht Karsten auch aus-führlich auf die Natur und den Begriff der negativen Zahlen ein.Er erklärt sie als Richtungs-Größen und bekämpft die Meinung, esseien negative Größen solche, die „kleiner als die Null “ seien. Sonstwürde ja (vgl. Bd. III 2 , S. 367) aus der unzweifelhaft richtigen Pro-portion 1 : (— 1) = (— 1) : 1 folgen, daß sich das Größere zum Klei-neren verhalte, wie das Kleinere zum Größeren.

Die Zeitenfolge nötigt uns, auf eine andere Frage einzugehen,die auch ein wesentlicher Bestandteil der Theorie des Imaginären ist.Es ist die Frage, ob alle imaginären Größen in der Gestalt

ä + r>Y- i

darstellbar sind, wo A uud 1i reelle Größen bedeuten. Uber die Un-bestimmtheit, um nicht zu sagen die Unklarheit der Fragestellungsetzten sich die Mathematiker der damaligen Zeit um so leichter hin-weg, als die Begriffe des Imaginären und des Unmöglichen noch immerineinander spielen. D’Alembert hatte 1747 durch die Benutzung

0 Opucules Y, 1768, p. 183. *) Encyclopedie XX, Geneve 1778, p. 234.

s ) Abhandl. der ehurfürstl. Baierischen Akad. d. W. V, 1768, p. 3.