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Abschnitt XXI.
unendlich kleiner Größen den Beweis dafür zu liefern gesucht, daß sichdie „unmöglichen“ Wurzeln algebraischer Gleichungen in der Form.1 + By~ 1 darstellen lassen; Bougainville hatte in seinem „Traitedu calcul integral“, Paris 1752, diesen Beweis recht übersichtlichreproduziert. Auch Foncenex lieferte fl. c.) einen Beweis dieses be-sonderen Satzes zugleich mit einer Kritik des d’Alembertschen Ver-suches; d’Alembert kritisiert dann seinerseits den FoncenexschenBeweis in dem „Supplement“ (siehe S. 308). Euler hatte 1749 durcheine Reihe von Beispielen den allgemeineren Satz überaus wahr-scheinlich gemacht.
Nach gleicher Richtung geht eine Arbeit des italienischen Ge-lehrten Pietro Paoli; sie findet sich als drittes „Opusculum“seiner Opuscula analytica 1 ). Paoli legt Gewicht darauf, seine Ab-leitungen unter Vermeidung der Infinitesimal-Rechnung zu geben, undbenutzt, um das zu ermöglichen, durchgehend das Prinzip der unbe-stimmten Koeffizienten als Hilfsmittel für die Herleitung der nötigenFormeln. So liefert er die Entwicklungen von a x , log(1 -\-x ), sin#, cos#,tang x, arc tang x. Nach diesen Vorbereitungen gebt der Verfasser zueiner Reihe von Beispielen über. Er beginnt mit dem Logarithmusvon (« -f-b-}/— lj; diesen stellt er mit Hilfe der zuerst vorgenommenenEntwicklung in der Form einer unendlichen Reihe dar und findet
log(n + 1>Y— l) = log}/«* + Ir + ßY—l, wo /i = arc tang— ist.
Für a = 0 gibt er noch als besonders erwähnenswert das J. Ber-noullische Resultat
* = J°g D2 y-1
an. Dann folgt die Behandlung von
log [log (a + b-y'- 1)], log {log [log (a + b-Y— l)]},usw. In gleicher Weise wird
pv+b-V-i, pfc+b-V-T),
auf die Form A + BY —1 gebracht; dann
(« + h-Y- l) n , (a + b-Y~ 1)"‘ + " V ~\
usf. Hierauf kommen die goniometrischen und die zu ihnen inversenFunktionen an die Reihe. Und den Schluß bilden die Kettenbrüchemit imaginären Teilzählern und Teilnennern. Die abbrechenden lassensich sofort durch Aufrechnung erledigen; die ins Unendliche fort-laufenden werden zunächst in unendliche Reihen verwandelt.