Imaginäres.
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Auch Xik. Fuß beschäftigt sich 1 ) mit dev Frage nach der Dar-stellung imaginärer Größen. Dabei macht er ganz wunderlicheSprünge. Wenn z eine variable imaginäre Größe, n , b, c, . . . reelle Kon-stanten bedeuten, dann umfassen die beiden Formen a -f- z und b-zbei der willkürlichen Bedeutung von a, b, z unendlich viele imagi-näre Größen. Die Größen der beiden Formen « -+- z und hz könneneinander nur gleich sein, wenn « = 0 und h= 1 ist. Die allgemeinereGrößenform a + bz umfaßt unendlich vielmal mehr Größen als a -+- z,da in ihr auch b alle reellen Zahlen durchlaufen kann; deshalb um-faßt sie „wahrscheinlich“ alle imaginären Größen; somit auch jede
von der Form e ■ „Demnach kann man, wie es scheint, als sicherc
annehmen, daß jedes — gleich einem a -j- bz sei, und zwar nur auf* z
c
eine Art.“ Aus a + bz = _ folgt die Gleichung
bz 2 + az — c = 0 und z = a + ß Y~ 1 ,
wo u und /I reell sind; dadurch wäre der Satz über die Darstellungimaginärer Größen allgemein bewiesen.
Euler wird diesen Beweis von Fuß schwerlich als vollgültigund überzeugend anerkannt haben; sonst hätte er wohl kaum 1783im zweiten Teile der „Opuscula analytica“ p. 81 unter anderen For-derungen an die Forschung auch die eines strengen Beweises fürdiesen Fundamentalsatz, aufgestellt.
Mehrere andere Mathematiker versuchten sich, wie d’Alembert und D. de Foncenex, um das Theorem in der Weise, daß sie esmit dem Problem der Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen ver-quiekten, sich also die Aufgabe stellten, die Form der, noch nichtals vorhanden bewiesenen Wurzeln festzustellen. Wir können solcheverfehlten Untersuchungen, wie die von Seb. Canterzani 2 ) hierübergehen. —
An dem Leibniz-Bernoullisehen oder, wenn man will, demEuler-d’Alembertsclien Widerstreite der Meinungen beteiligte sichauch der Italiener Greg. Fontana. 3 ) Er steht auf Eulers Seite,findet aber, daß Eulers Herleitung der unendlich vielen Werte vonlog (cos cp + sin q> ]/— l) durch die Benutzung des Unendlich-Großenund des Unendlich-Kleinen an Übersichtlichkeit und an Uberzeugungs-kraft verliert. Deswegen schlägt Fontana einen anderen Weg ein.Er beweist die entscheidenden Formeln einmal durch Integration von
‘) Act. Petrop. 1781, pars II, p. 118.s ) Ibid. I, 1782, p 183.
! ) Mem. Soc. ital. II, 1784.