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Abschnitt XXI.
Differential-Ausdrücken, dann aber auch ohne Integrierung durch Sub-stitution von x = tang cp ■ ]/— I in die Entwicklung
lo g ! 1 * = 2 (* + l* s + j* 5 + + ■■■);
dadurch gelangt er zu der gewünschten Eulersehen Formelcp Y~ 1 = log (cos cp -f sin cp ]/— l),
die die unendlich vielen Werte des Logarithmus vermittelt.
In aller Kürze sei noch ein Aufsatz von Fr. Mailet erwähnt 1 ),der den Zwist schlichten will, aber in seinem elenden Küchenlateinkaum über die historische Darstellung der Meinungsverschiedenheitenhinauskommt.
Einige Darlegungen von J. A. Chr. Miclielsen führen uns zuder Logarithmenfrage zurück. Michelsen gab 1788 die Übersetzungder „Analysis infinitorum“ Eulers heraus und versah sie mit An-merkungen zweifelhaften Wertes. Die zum siebenten Kapitel gehörigenbeschäftigen sich mit der Eulersehen Logarithmen-Theorie und be-kämpfen sie. Natürlich knüpft Michelsen an die Verwendung des Un-endlichen an. Er sagt S. 500—501: „Euler betrachtet die Formel
log x = lim n (Yx — l)
W = X
als allgemein gültig. Setzt man für x irgendeine negative Zahl undfür n nach und nach immer größere positive ungerade Zahlen, sofindet man für Yx außer den unmöglichen Werten auch allemal einenreellen negativen Wert und es sollte folglich jede negative Zahlaußer den imaginären auch einen reellen und zwar negativen Lo«-a-rithmen haben, der mit dem Logarithmen der gleichgroßen positivenZahl verglichen, größer sein würde. Ferner setze man für u nachund nach immer größere positive aber gerade Zahlen und lasse xpositiv sein. Alsdann hat Yx zwei einander entgegengesetzte sonstgleiche W'erte, und es müßte demnach log# einen doppelten, sowohlden Zeichen als der Größe nach verschiedenen Wert haben.“ Zuweiteren Angriffspunkten führt die Allgemeingültigkeit der Gleichung
m n
a m = a n , wie dies ja schon bei Bernoulli und d’Alembert zuverzeichnen war, die ihre darauf gegründeten Einwände geometrischformuliert hatten.
Seine Ansicht ist (S. 503) die folgende: „Zu jeder Größe,
*) Xov. Act. Upsal. IV, 1784, p. 205.