Imaginäres.
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sie mag nun positiv oder negativ, reell oder imaginär sein, gehört einmöglicher Logarithmus und nicht mehrere.“
Ferner sei noch erwähnt, daß Pietro Franchini in seiner„Teoria dell’ Analisi “ Koma 1792, 1 fünf Beweise für die Richtigkeitder Formel log(— f) = log (+z) publiziert, freilich ohne neue Ideen bei-zubringen; und daß Malfatti 1 ) eingehend untersucht, ob die Logistica einen oder zwei Zweige besitze.
Auch Kästner findet, wie so mancher vor und nach ihm, daß dievon Euler beliebte Benutzung der höheren Analvsis das Eindringen indie Natur der Logarithmen erschwere. Kästner erkennt an 2 ), daßHilfsmittel der höheren Mathematik notwendig seien, um „die Mannig-faltigkeit der unmöglichen Logarithmen zu kennen und zu brauchen“,aber er meint, daß sich schon „aus den ersten gemeinen Lehren vonden Logarithmen dartun lasse, daß jede bejahte Zahl einen möglichenLogarithmen hat und nur einen möglichen, und daß verneinte Zahlenkeinen möglichen Logarithmen haben“. Der Standpunkt ist, wie mansieht, ein noch ziemlich beschränkter. Um den Nachweis elementar zuliefern, erklärt Kästner jede „bejahte“ Zahl als abgekürzten Ausdruckihres Verhältnisses zur Einheit und setzt, um das anzudeuten, + a— (1: « i. Dann wird für ganze positive m die Potenz a m = m • (1 : a),d. h. das Resultat des »t-fachen Verhältnisses (l:a), (a:a 2 ), ...
die gleiche Erklärung soll für gebrochene positive Expo-
nenten m= gelten, „da das Verhältnis (l:o) in q Teile geteilt
werden könne, von denen dann j) genommen werden, um p ■ (1: n)zu geben“. So sei (1: 8) = 3 • (1: 2), also
■1(1: 8) = (1:2) und |(1: 8) = (1 :4).
„Das Verhältnis (1 : — a) läßt sich mit keinem Verhältnis zwischenein Paar bejahter Zahlen vergleichen.“ Ist bei konstantem positiven cund bei positivem y das Verhältnis (1:;/) das :r-fache des Verhält-nisses (1: c), also (1: y) = x ■ (1: c) oder c r = y, so liefert das ein loga-
rithmisehes System mit der Basis c. Ist x ein Bruch “■*1"^" 1 > dann
könnte y zwar einen verneinten Wert annehmen; aber diese Annahmewürde besagen, das Verhältnis zwischen 1 und einer verneinten Zahlsei ein Vielfaches des Verhältnisses (l:c). „Und das findet nichtstatt.“ Den Grund bleibt Kästner uns schuldig. Denn das soeben
*) Mem. R. Aead. Mantova , 1795. p. 3. *) Leipz. Magaz. f. r. u. a.
Mathem., Stück IV, 1780, p. 531.
Cantor, Geschichte der Mathematik IV.
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