Abschnitt XXII.

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Methode zu beweisen, daß das eine von den betrachteten Verhält-nissen weder kleiner noch größer sein kann als das andere, es ihmfolglich gleich sein muß. Die apagogische Methode sowohl in diesemals auch in den meisten anderen Fällen, wo es sich um inkommen-surabele Größen handelt, wird an Stelle der direkten Beweise, welchehier nicht anwendbar sind, aus folgenden Gründen gebraucht. Inden Begriff der inkomraensurabelen Größen gehört, wenn auch nichtaugenscheinlich, auch die Idee der Unendlichkeit, welche sich unsimmer als negativer Begriff der Endlichkeit darstellt, was auch alsnatürliche Folge hat, daß alles, was die mathematische Unendlichkeitanbetrifft, unmöglich direkt und a priori zu beweisen ist. In vollkommener Anerkennung der Schwierigkeiten, welche die inkommen-surabelen Größen Anfängern verursachen, gibt d’Alembert den Hat,sie wegen ihrer Wichtigkeit in der Geometrie und besonders in derTheorie der Proportionen der Linien lieber früher als später in dieElemente einzuführen. Dabei ist es unmöglich, ohne den einzigen Satzauszukommen, den die Theorie der inkommensurabelen Größen ver-langt und der die Grenzen der Grüßen behandelt. Dieser Satz lautetfolgendermaßen: Größen, welche die Grenzen einer und derselbenGröße bilden, oder Größen, welche eine und dieselbe Grenze haben,sind einander gleich.

Die Geometrie der Flächen behandelt, nach d’Alemberts An-sicht, ihre Ausmessung, ebenso wie die Geometrie der Körper dieAusmessung des Kauminhalts behandelt. Als Grundprinzip beimAusmessen der ersten dient das Prinzip der Ausmessung des Recht-ecks, und in der zweiten das Prinzip der Ausmessung des recht-winkligen Parallelepipedons. Die Schwierigkeit, die wir in der Geo-metrie der Körper antreffen und der keine in der Geometrie derFlächen entspricht, liegt in dem Satze von dem Inhalte der Pyramide,der den dritten Teil des Inhalts eines Parallelepipedons darstellt,welches mit der Pyramide gleiche Grundfläche und Höhe hat. Umdiesen Satz zu beweisen, ist es notwendig, zuerst den Satz von derVolumengleichheit der Pyramiden, die gleiche Grundfläche und Höhehaben, zu beweisen, was leicht zu bewerkstelligen ist mittels derExhaustionsmethode. Der gleichen Methode oder der Methodeder Grenzen muß man sich in der Geometrie der Flächen bedienen,beim Messen des Flächeninhalts des Kreises und in der Geometrieder Körper beim Berechnen der Oberfläche und des Inhalts der Kugel.Zu diesem Zweck muß man z. B. im ersten Fall zeigen, daß dieGrenze des Flächeninhalts beim eingeschriebenen oder umgeschriebenenVieleck das Produkt des Umfanges in die Hälfte des Radius ist, unddanach, weil augenscheinlich die Fläche des Kreises als dieselbe