Lehrbücher der Elementargeometrie.

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Grenze erscheint, endgültig daraus schließen, daß die Fläche desKreises das Produkt des Umfanges mit dem halben Radius ist, oderdes Radius mit dem halben Umfang.

Von der Methode der Grenzen spricht d’Alembert auch inden Abhandlungen Differentiel 1 ) und Limite 8 ). In der zweiten Ab-handlung, deren Hauptteil dem Abbe de la Chapelle 3 ) gehört, be-müht sich d’Alembert, dessen Definition der Grenzen klarer undstrenger zu machen. De la Chapelle gab folgende Definition: EineGröße ist dann die Grenze einer anderen Größe, wenn die zweiteder ersten näher als jede gegebene Größe kommen kann, wie kleinder Abstand auch vorausgesetzt würde, dabei aber auf solche Weise,daß die sich annähernde Größe niemals diejenige übertreffe, der siesich nähert; die Differenz zwischen einer solchen Größe und derGrenze erscheint auf diese Weise absolut undefinierbar. D’Alembert ergänzt diese Definition dahin, daß die Grenze niemals zusammen-fällt, oder niemals gleich wird mit derjenigen Größe, als derenGrenze sie erscheint; daß sie jedoch, sich ihr immer mehr nähernd,sich von ihr so wenig als nur möglich unterscheiden kann. DerKreis z. B. ist die Grenze der eingeschriebenen und umschriebenenVielecke, weil er niemals mit ihnen zusammenfällt, obgleich dieselbensich ihm bis zur Unendlichkeit nähern können. Danach, um aneinem Beispiel die Bedeutung dieser Bemerkung zur Beleuchtungeiniger mathematischen Sätze zu zeigen, verweilt er bei der Unter-suchung des Ausdruckes der Summe der unendlich abnehmenden geo-metrischen Progression. Überhaupt räumt d’Alembert der Theorieder Grenzen wichtige Bedeutung ein, weil er in ihr die Grundlageder wahren Metaphysik der Differentialrechnung sieht, In der Ab-handlung Differentiel führt d’Alembert , sich des ersten der beidenvon de la Chapelle angeführten Grundsätze der Methode der Grenzenbedienend, zugleich auch seinen Beweis an, in welchem er sich derapagogischen Methode bedient, « Dieser Satz und der ihm beigefügteSatz von de la Chapelle sind in seiner Schrift folgendermaßen dar-gestellt: 1. Wenn jede von zwei Größen die Grenze ein und derselbenGrößen darstellt, so sind diese Größen einander gleich. 2. Wir nehmenan, daß A X B das Produkt zweier Größen A, B ist. Nehmen wirferner an, daß C die Grenze der Größe A, und B die Grenze derGröße B ist, so folgt weiter, daß das Produkt C X D unbedingt dieGrenze von A X B, dem Produkt zweier Größen A, B, sein wird.Den Beweis dieser Sätze führt der Verfasser nicht an, den Leser an

*) Encyclopedie methodique. Vathematiquea I, p. 520—520. 8 ) Ebenda

II, p. 300—310. s ) Ebenda I, p. 521.

Cantob, Geschichte der Mathematik IV.

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