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Abschnitt XXII.

sein w erk „Listitutions de Geometrie“ verweisend, uni sich mit ihmvertraut zu machen. Was jedoch den erwähnten Beweis d’Alem-berts des ersten Satzes anbetrifft, so besteht er aus folgendem: Wirnehmen an, daß Z und X die Grenzen ein und derselben Größe Fsind, ich sage X = Z, denn wenn zwischen ihnen irgend eine Diffe-renz V wäre, so wäre X = Z + U. Aber nach Voraussetzung kanndie Größe Y sich beliebig an X nähernd. h. die Differenzzwischen X und 1' kann beliebig klein sein. Da jedoch Z sich vonX um die Größe V unterscheidet, so folgt daraus, daß Y sich nichtmehr als bis zur Größe V dem Z nähern kann, und folglich ist Znicht die Grenze von Y, was der Voraussetzung widerspricht 1 ).

Dem Abbe de la Chapelle gehört auch in der Encyclopedieder Artikel über die Exhaustionsmethode an 2 ). Er definiert sie alsMittel zum Beweise der Gleichheit zweier Größen, indem man auf-deckt, daß ihre Differenz kleiner als jede darstellbare Größe ist, undebenso beim Gebrauch der apagogisclien Methode. Aus dem Grunde,daß ungeachtet der Einfachheit des Prinzips der Exhaustionsmethodederen Anwendung nicht selten die Beweise sehr lang und kompliziertmacht, schlägt d’Alembert vor, sie durch das Prinzip des unend-lich Kleinen zu ersetzen, indem er die völlige Identität der beidenPrinzipien zeigt, von denen das zweite bloß der verkürzte Ausdruckdes ersten ist.

Um beim Verteilen des Materials strenger in der Beihenfolgeund dem System zu sein, sollte die Behandlung der Kugelfläche zurGeometrie der Flächen gerechnet werden. Gleichzeitig gibt d’Alem-bert den Rat, die Theorie der Proportionen der Linien mittels desgeometrisch bewiesenen Satzes, daß bei vier proportionalen Liniendas Produkt der beiden äußeren dem Produkt der beiden innerengleich ist, ebenfalls der Geometrie der Flächen näher zu bringen.Den Gebrauch der algebraischen Rechnung beim Beweis diesesSatzes, ebenso wie auch in allen anderen Fällen findet d’Alembert für die Elemente der Geometrie vollständig überflüssig, wegen dervölligen Unfähigkeit dieser Rechnung, in irgend einem Maße beideren Darstellung zur Erleichterung beizutragen. Als ein sehr nütz-liches, zur Entwicklung und Stärkung des Verstandes des Lernendendienendes Resultat der zu betrachtenden Annäherung erscheint dieBeobachtung, wie zwei einzeln betrachtete Theorien im Beweise ver-schiedener Sätze Zusammentreffen, wie z. B. der Satz von dem Quadrateder Hypotenuse.

Xaehdem d’Alembert seinen Plan für die Elemente der Geo-

l ) Encycl. meth. I, p. 521. *) Ebenda I, p. 703—704.