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Abschnitt XXII.

licht, besonders im ersten Kapitel. Was jedoch seine andere Idee au-betrifft, nämlich die der Einteilung desselben ersten Teiles in zweiAbteilungen, so ist sie vollkommen bloß in den ersten drei Kapitelnanzutreffen, von denen die beiden ersten vollkommen der ersten Ab-teilung angehören, und das dritte der zweiten. In den nächsten dreiKapiteln sind die beiden Abteilungen schon in gemischtem Zustandvorhanden. So enthalten von den drei Teilen, die das vierte Kapitelbilden, der erste Teil die Sätze von der relativen Lage der Geradenund der Kreislinie und zweier Kreislinien, der zweite das Vermessender Winkel im Kreise, und der dritte die sich mit dem Kreise inBeziehung befindenden proportionalen Linien. Ebenso auch in derSammlung der Aufgaben, welche das fünfte Kapitel bilden, gehörendie einen zur einen Abteilung, die anderen zur anderen.

Das Bestreben, die Elemente der Geometrie zu vervollkommnen,welches das Werk Bertrands durchdringt, äußert sich vor allem inden von ihm gegebenen Definitionen der Ebene und der ge-raden Linie. Der Raum ist unendlich und homogen ioder mitanderen Worten, ist sich selbst gleich zu jeder Zeit und an jedem Ort.Und wirklich, wenn wir seiner Ausdehnung Grenzen angeben wollten, somüßten wir es auf seiner ganzen Ausdehnung tun, das würde aberbedeuten, daß die angegebenen Grenzen ihn nicht begrenzen. Wasseine Homogenität anbetrifft, so äußert sie sieh darin, daß der Teildes Raumes, der von einem Körper an irgend einer Stelle eingenommenwird, sich in nichts unterscheidet von einem anderen Teil, welchervon demselben Körper an einer beliebigen anderen Stelle eingenommenwird; dazu ist hinzuzufügen, daß der Raum, welcher den Körper aneiner Stelle umgibt, derselbe ist wie der Raum, der denselben Körperan einer anderen Stelle umgibt. Aus diesem Begriff vom Raum folgt,daß man sich den Raum in zwei solche Teile geteilt vorstellen kann,von denen man nichts von dem einen sagen kann, was nicht auch vondem anderen gesagt werden könnte, und daß ihre allgemeine Grenzezu einem jeden von ihnen ein und dasselbe Verhältnis hat, mag mansie im ganzen oder in ihren Teilen betrachten. Diese Grenze, dieden Raum in zwei Teile teilt, ist dasjenige, was man die Ebenenennt. Die Ebene wie auch den Raum kann man sich in zwei solcheTeile geteilt vorstellen, von denen man nichts von einem sagen kann,was nicht auch vom anderen gesagt werden könnte, und daß ihreallgemeine Grenze außerdem zu einem jeden von ihnen ein und die-selben Verhältnisse hat, beliebig betrachtet im ganzen oder in seinenTeilen. Diese Grenze, die die Ebene in zwei Teile teilt, ist das, wasman die gerade Linie nennt. Mit Hilfe dieser Definitionen beweistBertrand folgende Sätze von geraden Linien, die ohne sie nicht