Lehrbücher der Elementargeometrie.

:$3r>

bewiesen werden können und deshalb gewöhnlich als Axiome angenommenwerden: „Aus einem Punkt der Ebene zum anderen kann man nureine gerade Linie führen.“ „Zwei Punkte der Ebene bestimmen diegerade Linie.“ „Zwei sich auf einer Ebene schneidende Linienschneiden sich nur in einem Punkte.“ Späterhin werden dieselbenSätze auch auf eine andere Weise bewiesen mit Hilfe der von La-place im Journal des seances de l’Ecöle Normale gegebenen Definitionder geraden Linie.

Indem Bertrand im allgemeinen mit d’Alembert ziemlichübereinstimmt in der Beweisführung von Sätzen, welche von Über-gängen von den kommensurabelen Größen zu den inkommensurabelenund von den geraden Linien zu den krummen handeln, gibt er bloßeiner größeren Verbreitung der apagogischen Methode Platz. Er be-dient sich dieser Methode in allen Sätzen nicht nur in der erstenvon den angegebenen zwei Gruppen, sondern auch in den beidender zweiten Gruppe, welche sich mit der Bestimmung des Flächen-inhalts des Kreises und der Oberflächen des Zylinders und des Kegelsbeschäftigen, obwohl dank ihrer Eigenschaften er auch dabei nichtohne die Exhaustionsmethode auskommen kann. Der Exhaustions-methode bedienen sich alle anderen Beweise der Sätze in der zweitenGruppe und ebenso auch der Satz von der Gleichheit der dreiseitigenPyramiden mit gleichen Grundflächen und Höhen.

Das Bestreben Bertrands zur größtmöglichen Verkürzung derAnzahl einzelner Sätze tritt besonders stark in dem 5. Kapitel des3. Teiles hervor, wo eine ganze Reihe von Sätzen durch eine Reiheentsprechender Aufgaben ersetzt erscheint, die in folgendem einenSatze vereinigt sind: Es sollen ausgemessen werden das Prisma, diePyramide, die abgestumpfte Pyramide, der Zylinder, der Kegel, derabgestumpfte Kegel, die Kugel, der Kugelsektor, das Kugelsegment,das abgekürzte Kugelsegment. Der Rauminhalt der abgestumpftenPyramide (bez. des abgestumpften Kegels) wird hier als Differenzzwischen den Rauminhalten der vollen Pyramide (bez. des Kegels)und der Ergänzungspyramide (bez. des Ergänzungskegels) gekenn-zeichnet. Der Rauminhalt des Zylinders wird ausgemessen mit Hilfedes Theorems: Das Verhältnis der Zylinder zu den Prismen ist gleichdem zusammengesetzten Verhältnis ihrer Höhen und Grundflächen,und das Ausmessen des Inhalts des Kegels und der Kugel wird aufdas Ausmessen des Inhalts des Zylinders zurückgeführt.

Indem das Buch Bertrands in der zweiten Hälfte des 18. Jahr-hunderts als eines der inhaltsreichsten und tiefsinnigsten Werke inder elementaren Mathematik im allgemeinen und der Geometrie imbesonderen erscheint, ist es trotz seiner geringen Verbreitung nicht