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Abschnitt XXII.

parallelen Linien, und am Schlüsse der Parallelogramme. Den Inhaltdes zweiten Buches bilden der Kreis und die Ausmessung der Winkel;des dritten die Proportionalität von Figuren; des vierten die regel-mäßigen Vielecke und das Ausmessen des Kreises; des fünften dieEbenen und die körperlichen Winkel; des sechsten die Polyeder; dessiebenten die Kugel und die sphärischen Dreiecke und des achtendie drei runden Körper: der Zylinder, die Kugel und der Kegel. DenSchlußteil des Buches unter dem Titel „Notes sur les elements degeometrie“ bilden eine Menge von Ergänzungsartikeln. Die Unord-nung und besonders, nach seinem eigenen Ausdruck, das „Verwechselnder Eigenschaften der Linien mit den Eigenschaften der Flächen“gesteht er selbst ein, sich mit dem Beispiel des Euklid entschuldigend,sowie mit der Behauptung, daß eine Anordnung nicht als schlechtangesehen werden kann, wenn die einzelnen Sätze darin gut mitein-ander verbunden sind.

Der von Euklid eingeführte Gebrauch, jedem Buch der Elementeeine Sammlung der darin enthaltenen Definitionen vorauszuschicken,wurde von Legendre nicht nur in seinem ersten Buche der Ele-mente, wie oben angeführt, sondern auch in allen anderen beibehalten,ungeachtet der strengen Verurteilung seitens der philosophischenKritik. Die Definitionen der Linie und der Fläche sind bei ihm die-selben, wie bei Euklid . „Die Linie ist eine Länge ohne Breite.“ „DieFläche ist das, was Länge und Breite hat, jedoch ohne Höhe oderDicke.“ Die gerade Linie, die Ebene und der Winkel werden vonihm schon anders definiert. „Die gerade Linie ist die kürzeste Ent-fernung von einem Punkte zu einem anderen.“ „Die Ebene ist einesolche Fläche, auf der jede gerade Linie vollkommen aufliegt, welchezwei beliebig auf dieser Fläche genommene Punkte verbindet.“ „Wennzwei gerade Linien Ali und AC sich begegnen, so wird jede mehroder weniger bedeutende Größe, um die sie gegenseitig voneinanderentfernt sind, der Winkel genannt.“

Beim Beweise der Theoreme, die von dem Übergang von denkommensurabelen Größen zu den inkommensurabelen handeln, be-dient sich Legendre der apagogischen Methode, zeigend, daß daseine der beiden Verhältnisse, deren Gleichheit zu beweisen ist, wedergrößer noch kleiner sein kann, als das andere.

Beim Beweise der Sätze, die vom Übergang von den geradenLinien zu den krummen handeln, gebraucht Legendre die von Archi-medes angegebene Form der Exhaustionsmethode in etwas verän-dertem Zustande. Die wenig bedeutende Änderung dieser FMrm, dieer sich erlaubt, bestand im Gebrauch der zwei folgenden Hilfssätze:\Y enn die Fläche eines Kreises größer ist, als irgend eine andere