Lehrbücher der Klementargeometrie.

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Fläche, so kann in diesen Kreis immer ein regelmäßiges Vieleck ein-geschrieben werden, dessen Fläche ebenfalls größer sein wird als diegegebene Fläche. Wenn die Fläche eines Kreises kleiner ist, alsirgend eine andere Fläche, so kann man diesem Kreis immer einregelmäßiges Vieleck umschreiben, dessen Fläche ebenfalls kleiner seinwird als die genannte Fläche. Anstatt diese beiden Hilfssätze einzelnzu entwickeln, führt Legendre in seinem Buche folgenden sie zu-sammenfassenden Hilfssatz an: Wenn zwei konzentrische Kreise ge-geben sind, kann man immer in den größeren von ihnen ein regel-mäßiges Vieleck einschreiben, ohne daß seine Seiten den kleinerenschneiden, ebenso kann man auch um den kleineren Kreis ein regel-mäßiges Vieleck umschreiben, dessen Seiten den größeren Kreis nichtschneiden; auf diese Weise werden im einen sowohl wie im anderenFalle die Seiten des konstruierten Vielecks zwischen den beidenKreisen eingeschlossen sein. Dieser Hilfssatz sowohl als dessen scharf-sinnige Benutzung in der Exhaustionsmethode stellen nicht die Er-findung von Legendre dar. Er befindet sich im 16. Satze des12. Buches der Elemente des Euklid, und dessen erste Benutzung inder Exhaustionsmethode gehört Maurolycus an, wie aus der Aus-gabe seiner Übersetzung der Werke des Archimedes zu ersehen ist. 1 )

In seinem Vorwort sagt Legendre , daß er im Anfang, an Stelleder Exhaustionsmethode, oder, nach seinen Worten, der Methode desArchimedes, die Methode der Grenzen anwenden wollte, weil sie alsvorzügliche Vorbereitung zur Erlernung der Differentialrechnung er-scheine. Später aber ließ er dies Vorhaben fallen, weil in die Theorieder Grenzen einige allgemeine Anfangsgründe, die eher den Gegen-stand der Algebra, als der Geometrie bilden, hineingehören, und weilzweitens die Anwendung dieser Theorie zum Besprechen einer unend-lichen Reihe von eingeschriebenen und umschriebenen Figuren führt,was Länge der Auseinandersetzung und verschiedene Schwierigkeitennach sich zieht. Es ist übrigens zu bemerken, daß der erste dieserGründe mit der Aussage des Verfassers in demselben Vorwort, daßer beim Leser seines Buches Kenntnisse der Arithmetik, und wenigstensdes anfänglichen Teils der Algebra, voraussetzt, im Widerspruch steht.

Aus den Neuerungen, die Legendre in den Elementen der Geo-metrie gemacht hat, ist das Heranziehen des Prinzips der Sym-metrie in die Zahl der Prinzipien der Elementargeometrie hervor-zuheben. Die direkte Anwendung dieses Prinzips finden wir bei ihm

*) Admirandi Archimedis Syracusani monumenta ornnia mathematica quaeextant, ex traditione D. Franc. Maurolici, etc. Panormi 168"), in-fol., p. 5et suiv.