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Abschnitt XXII.
dort, wo zum Beweise der Gleichheit das Prinzip der Kongruenz sichals unzulänglich erweist, nämlich beim Betrachten der Körper. Ernennt zwei solche Polyeder symmetrisch, 1 i von denen bei gemein-schaftlicher Basis der eine unter und der andere über dieser Basiskonstruiert sind, bei der Bedingung, daß die Scheitel der homologenkörperlichen Winkel auf gleicher Entfernung von der Grundflächeund auf dem Perpendikel zur selben Grundfläche gelegen sind. DieseDefinition erklärt er am Beispiel zweier Pyramiden SABC und
TABC, die eine gemeinschaft-liche Basis A B C haben undderen Spitzen S und T auf demPerpendikel ST zur selbenBasis gelegen sind, wobei derPerpendikel sich im Schnitt-v punkt 0 mit der Basis in zwei
FlR - c - gleiche Teile teilt. Nachdem er
alsdann im II. Satz des sechstenBuches bewiesen hat, daß jedes Polyeder nur ein symmetrischesPolyeder haben kann, führt er in die Elemente der Geometrie eineneue Art von Gleichheit ein, die manches Mal die Gleichheit vonKörpern durch Symmetrie genannt wird. Sie ist im folgenden Satzerhalten: Wenn zwei Körper a und b symmetrisch dem dritten c sind,so sind sie kongruent.
Das Einschlagen des Weges, der ihn zu dieser Neuerung führte,verdankt er Robert Simson , welcher in seinen „Kritischen undgeometrischen Bemerkungen“ zu seiner Ausgabe der Elemente desEuklid 2 ), als erster auf die 9. und 10. Definitionen im XI. Buche derElemente des Euklid hinwies (die Definition ähnlicher Körper; dieDefinition gleicher und ähnlicher Körper), als auf solche, die nichtals Definitionen angesehen werden können und deshalb als Theoremebewiesen werden müssen. Die Richtigkeit dieser Bemerkung an-erkennend, und zu gleicher Zeit diese Definitionen in die Zahl derTheoreme nicht einführend, mußte Legendre, ebenso wie RobertSimson , zum Auffinden neuer Beweise zu solchen Theoremen sichanschicken, die Euklid auf die oben erwähnten Definitionen gründete.Dabei mußte auf den 28. Satz des XI. Buches der Elemente desEuklid acht gegeben werden, der aus dem Theorem über die Teilungeines Parallelepipedons in zwei gleiche Teile bestand. RobertSimson betrachtete diesen Satz als Folge des von ihm vorher be-
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