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Abschnitt XXII.

daclit werden können. Jeder Körper muß in Wirklichkeit abgegrenztsein, sonst wird er sich vom unendlichen Raume nicht unterscheiden.Solche Grenzen sind eben die Flächen, die ihrerseits wieder als Grenzendie Linien haben, und diese letzten — die Punkte. Alle diese Grenzenexistieren nicht nur in Wirklichkeit, sondern stehen auch geradeunseren Sinnen vor, weil diese ohne ihre Hilfe keine Figuren derKörper kennen würden. Von der Darlegung dieser Ansichten mußauch die Darlegung der Elemente der Geometrie anfangen. Lacroixführt es auch wirklich in seinem Lehrbuche durch, indem er seinemersten Teil die der oben genannten Auslegung gewidmete Stelle voran-scliickt, nämlich den „Haupthegriff der Ausdehnung“.

Alle Axiome in Form einer Sammlung an den Anfang der Elementezu setzen, findet Lacroix nutzlos, sogar lächerlich, weil ihrerNatur nach sich keine Hindernisse in den Weg steilen können, sichihrer hei Beweisen dort zu bedienen, wo es als notwendig erscheint.Als Definition, die besonderer Aufmerksamkeit wert ist infolge ihrervölligen Unzulänglichkeit bei Euklid und die überhaupt ernste Schwie-rigkeiten bietet, findet Lacroix die Definition des Winkels. Um diesezu umgehen, schlägt er sogar vor, überhaupt keine Definition zugeben, sondern sich mit der Bekanntmachung mit dem Winkel oderdirekt durch den Gegenstand selbst zu begnügen. In seinem Lehr-buche führt er dieses jedoch nicht durch und begnügt sich, nachseinen eigenen Worten, mit der ungenügenden Definition des Winkels,als eines unbestimmten Raumes, eingeschlossen von zwei geradenLinien, die sich in irgend einem Punkte treffen, und die man sich alsbeliebig verlängert vorstellen kann. Derselben Definition bedient sichauch Bertrand, jedoch in folgendem viel genauerem Satze: EinWinkel ist der Teil einer ebenen Fläche, eingeschlossen von zweigeraden sich schneidenden Linien, die im Punkte ihrer Begegnungendigen.

Verhältnismäßig viel Platz, wie es eigentlich auch sein soll,widmet Lacroix in seinem Berichte dem in verschiedenen Teilen derElemente der Geometrie sich antreffenden Übergang vom Endlichenzum Unendlichen. Solcher Fälle, die denselben augenscheinlich odernichtaugenscheinlich darstellen, existieren drei: 1. der Übergang vomKommensurabelen zum Inkommensurabelen, der in der Theorie derproportionalen Linien gemacht wird; 2. der Übergang von geradenLinien zu krummen, der beim Ausmessen des Kreises und der rundenKörper vorkommt; 3. das Auftreten der Gleichheit des Rauminhaltesvon Körpern in Fällen, wo das Prinzij) der Kongruenz unanwendbarist, was als Folge davon erscheint, daß der Körper eine Größe vondrei Dimensionen ist. Als einfachstes Mittel in solchen Fällen, dieser