Lehrbücher der Elementargeometrie.

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Betrachtung vom Unendlichen auszuweichen, bezeichnet Lacroix dieGrenzen. Die beim Gebrauch dieses Mittels angewandten Prinzipien,als gemeingültig für Sätze dieser Art, müssen getrennt von ihnen undunabhängig von den Linien dargestellt werden, als Prinzipien, dienicht nur auf Größen, die in den Elementen der Geometrie betrachtetwerden, anwendbar sind, sondern auch auf andere Größen. Dankdiesen Folgerungen stellt Lacroix die erwähnten Prinzipien in fol-genden Formen dar: 1. Wenn bewiesen werden kann, daß die Diffe-renz zweier unveränderlicher Größen kleiner ist, als jede gegebeneGröße, wie klein sie auch wäre, so folgt daraus, daß die beiden erstenGrößen einander gleich sind. 2. Wenn von drei Größen eine sichverändernde und dabei immer größere, als die beiden anderen, dieunveränderlich bleiben, sich gleichzeitig einer jeden von ihnen nähernkann, so nahe wie nur wünschenswert, so sind die beiden unveränder-lichen Größen einander gleich. Indem er diese beiden Theoreme alsAusdruck, wenn auch nicht als offenbaren, der ersten Gründe derGrenzmethode ansieht und die angenommene Form des zweiten sichzuschreibt, spricht er die Überzeugung aus, daß diese letzte besondersdie Eigenschaft besitzt, alle ihrer bedürftige Beweise zu vereinfachen,bedeutend zu verkürzen und sie symmetrischer zu machen. In seinenElementen der Geometrie setzt er das erste Theorem an den Anfang

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des Artikels über die Rektifikation des Kreises und das zweite anden Anfang des Artikels vom Ausmessen des Flächeninhaltes desKreises. Zu zeigen, daß je mehr sich die geradlinigen Figuren denkrummlinigen nähern, sich auch das Maß der ersten dem Maße derzweiten nähert — das sei die Hauptsache, auf die nach Lacroix’Meinung die Aufmerksamkeit gerichtet werden muß, bei Anwendungdieser beiden Theoreme zum Übergang von geraden Linien zu krummen.Als Erfindung kann hier bloß die Methode der Annäherung angesehenwerden, die am Ende mit Hilfe der Induktion die gesuchte strengeBedeutung der betrachteten Größe offenbart.

Lacroix gibt den Rat, die apagogische Methode nur zum Be-weis der einfachsten Sätze anzuwenden. In allen komplizierten Fällenjedoch muß man seiner Meinung nach dieser Methode ausweichen,weil sie den Verstand überzeugt, ihn jedoch nicht erleuchtet. Zudiesen Ansichten und ebenso auch zur oben angeführten Überzeugungvon der Möglichkeit, die Methode der Grenzen in allen Fällen des Über-gangs vom Endlichen zum Unendlichen anzuwenden, gelangte La-croix augenscheinlich nach dem Erscheinen der ersten Ausgabenseiner Elemente der Geometrie. In ihnen benutzte er wirklich beimBeweise der Sätze, die vom Übergang von den kommensurabelen zuinkommensurabelen Größen handeln, in Übereinstimmung mit d’Alem-