Lehrbücher der Elementargeometrie.

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neuer Wahrheiten. Außer den Arbeiten über die Differentialrechnung,die dieser Richtung angehörten, und einigen anderen gehören dazunoch einige Arbeiten, die, obgleich nicht gedruckt, so doch der Aka-demie der Wissenschaften vorgelegt waren, wie zum Beispiel das vonihr am 26. Mai 1796 handschriftlich erhaltene Werk „Anfangsgründeder transzendenten Geometrie und der Differentialrechnung, abgeleitetaus der wahren Natur ihres Gegenstandes“, oder des von ihm im Jahre1797 verlesenen Manuskripts „Versuch der Begründung der Mathe-matik auf festen Gründen“.

Die erste seiner Arbeiten dieser Art, die im Druck erschien, war„Versuch einer Vervollkommnung der Elemente der Geo-metrie“ 1 ). Direkte Ursache zum Verfassen dieses Werkes war der Ver-such, die Beweise der Theoreme, die über den Übergang vom Endlichenzum Unendlichen handelten, von dem verbreiteten Gebrauch der Unteil-baren von Cavalieri und der Unendlichkleinen vonGuldin zu befreien.Um der Geometrie ihre Genauigkeit und Klarheit wiederzugeben, die sienach der Meinung des Autors, infolge des Gebrauches dieser Größen,oder, was dasselbe ist, infolge der Einführung der von ihnen dar-gestellten Methode der Unteilbaren eingebüßt hat, stellt er an Stelleder letzteren die Methode der Grenzen, die er aus den obengenanntenWerken d’Alemberts und des Abbe de la C ha pelle entnimmt.Indem er jedoch die darin gegebene Definition der Grenze als un-genügend und unbestimmt findet, stellt er sie, um die darin befind-lichen Mängel zu beseitigen, in folgender Form dar: „Wenn irgendeine Größe durch irgend eine bestimmte bis in die Unendlichkeitdauernde Operation sich vergrößert oder vermindert, und dadurchsich einer anderen unveränderlichen Größe so nähert, daß sie sichvon ihr weniger unterscheidet als um irgend eine willkürlich ge-

nommene Größe derselben Art und mit alledem sie doch niemals er-reicht, so ist diese andere unveränderliche Größe dasjenige, was mandie Grenze der ersten sich vergrößernden oder vermindernden

Größe nennt.“ 2 ) Indem er als Grundsatz der Methode der Grenzenden ersten der beiden von de la Chapelle anerkannten Sätze an-nimmt, stellt Gurief den Beweis, den d’Alembert diesem Satz gab,in folgender veränderter Form dar: „Nehmen wir an, daß X die sichvermehrende Größe ist und A, B ihre beiden Grenzen sind, so sindsie, wenn nicht einander gleich, die eine größer als die andere.Nehmen wir an, daß J. größer ist als B um eine unveränderliche

Größe 1), so wird infolgedessen, daß A und B zwei unveränderliche

Größen sind, A = B + 1) sein. Da aber X immer kleiner ist als B,

') St. Petersburg 17 l J8, 4°, '264 S. mit 5 Tafeln. *) Gurief, Ver-

such, S. 34.