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Abschnitt XXII.

von d’Alembert , in denen die Elemente der Geometrie dargestelltwerden können, je nach den Forderungen, die von verschiedenen Gruppenvon Lesern an sie gestellt werden, nähert sich das Werk von Kästneram nächsten der Form eines Traktates über die praktische Geometrie,das von Spekulationen begleitet wird, welche bis zu einem gewissen Gradedie praktischen Operationen zu erleuchten imstande sind, und verhindern,daß man sich mit der blinden Routine allein begnüge. Der erste Teilder Geometrie von Kästner besteht aus der Geometrie der Ebene und derAnwendung der in ihr vorgelegten Regeln zur praktischen Geometrie.Unmittelbar nach dem ersten Teile folgt die Darstellung der ebenenTrigonometrie, welche auf diese Weise den Charakter eines Anhangsoder sogar eines Schlußteils des Traktats über die praktische Geo-metrie der Ebene bekommt. Den zweiten Teil der Geometrie vonKästner stellt die Geometrie des Raumes dar, wonach unmittelbarals Ergänzung oder ihr Schlußteil die sphärische Trigonometrie folgt.Die theoretische Abteilung des ersten Teiles enthält die Geometrieder geraden Linie und der Kreislinie. Die Reinheit seiner Darstellungwird durch die Einführung zweier Theoreme aus der Geometrie derflächen gestört: des Theorems des Pythagoras und des Theoremsüber das Verhältnis der Flächeninhalte von Dreiecken mit gleicherHöhe. Die Abteilung beginnt mit der Erklärung von Definitionen,Postulaten und Axiomen. Von den Definitionen, die Kästner gibt,genügt es, folgende anzuführen: „Die gerade Linie ist eine solche,deren Punkte gerade nach einer Seite hin liegen.“ „Die Kurve jedochist eine Linie, in welcher zwischen zwei möglichst nahe aneinandergelegenen Punkten sich immer einige Punkte befinden, die nicht mitihnen zusammen auf einer geraden Linie liegen.“ „Die Ebene isteine Fläche, von deren jedem Punkt zu ihren anderen Punkten mangerade Linien führen kann, so daß alle ihre Punkte sich auf derselbenFläche befinden werden.“ „Ebener Winkel ist die gegenseitigeNeigung zweier Linien, die auf einer Ebene liegen, und welche nichteine gerade Linie bilden.“ Folgende Sätze sieht Kästner als Axiomean: 1) Durch jede zwei Punkte geht nur eine gerade Linie. 2) Wennzwei gerade Linien Zusammentreffen, ohne eine Gerade zu bilden, sowerden sie außer einem Punkt nichts gemeinschaftlich haben.3) Größen, die so aufeinander gelegt werden können, daß die Grenzender einen und was zwischen ihnen enthalten ist, zusammenfallen mitden Grenzen und allem was zwischen ihnen sich befindet, der anderen sindeinander gleich und ähnlich. 4) Gleiche gerade Linien und gleicheWinkel decken einander. 5) Alle rechten Winkel sind einandergleich, weil sie sich gegenseitig decken. 6) Der Durchmesser teiltden Kreis in zwei ähnliche und gleiche Teile. 7) Die Peripherie