Elementargeometrische Einzeluntersuchungen.

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Durch das Einführen der Algebra in die Elemente der Geometriein Widerspruch mit den altgriechischen Geometern geraten, setzteLegendre denselben Weg fort. In seinen Arbeiten gab er den analy-tischen Methoden einen weiten Zugang in der Lösung der Fragen derElementargeometrie. So gibt er im V. Anhang zu seinen „Elementen“analytische Lösungen der Aufgaben, die da handeln von Dreiecken,in einen Kreis eingeschriebenen Vierecken, Parallelepipeden und derdreiseitigen Pyramide. Bei der Wahl eines Beispiels aus ihnen fürunsere Darstellung genügt es an der Bestimmung des Radius desKreises, der um ein Viereck umschrieben ist, und au dessen Fläche,als Beispiele, in denen der Autor dieTheorie des eingeschriebenen Vierecks er-gänzt hat und welche deshalb eine selb-ständige Bedeutung haben.

Es seien die gegebenen Seiten des

o ö

dem Kreise eingeschriebenen Vierecks

ABC!)

Ali = a, JiC = b, CD = c, DA = d,

und seine unbekannten Diagonalen A C = x,

HD -- y. Dann werden auf Grund-lage der Theoreme über das Produkt der Diagonalen eines eingeschrie-benen Vierecks und über ihr Verhältnis

Fig. 9.

i , x ad 4- bc

Xii = ac + o« und - = —j—,,

J y ab A cd’

daraus folgt, daß

_ 1 /(ac -f- bd) (ad -p bc) _ n/(ac -p öd) (afc -f- cd)

X V ab- f-cd > V y ad Abc

Wenn man sich danach der bekannten Darstellung des Radius einesumschriebenen Kreises - des Dreiecks durch die drei Seiten und dieFläche des letzteren bedient, so erhält man für den gesuchten Radius,als den Radius eines umschriebenen Kreises des Dreiecks ABC, denAusdruck

_ abx

~ Y 4 a’b- — (a 1 Äb T — x*f ’

welcher sich nach Ersetzen des x durch seinen eben gefundenen Wertund ferner nach Zerlegung der erhaltenen Resultate in Faktoren inden endgültigen Ausdruck verwandelt

(ac bd) (ad -|- bc) (ab

a A b A c — d) (a A b A d — c) (a A c ~r “

b)(bAc