384

Abschnitt XXII.

Kugel konstruiert sind. In der Geometrie der Ebene werden folglichanalog zu diesem Gegenstände Eigenschaften von Kreisen, welche inder Ebene konstruiert sind, vorhanden sein.

Als der am meisten bemerkenswerte Satz aus diesem von Lexellgewählten Gebiet der sphärischen Geometrie erkennt man gewöhnlichdas schöne Theorem über die Linie, die den geometrischen Ort derSpitzen der sphärischen Dreiecke darstellt, welche eine gemeinschaft-liche Basis und gleiche Oberfläche haben. Angenommen, ABC seieines der sphärischen Dreiecke, deren gemeinsameBasis AB = c ist und die gegebene OberflächeA -f B + C — 7t = S. Es sei ferner JBK derunbestimmt verlängerte Perpendikel, der auf ABin der Mitte errichtet ist. Dann wird, wenn JBein Quadrant ist, der Punkt P der Pol des BogensAB sein und der Bogen PCD, der durch diePunkte Pund C gezogen ist, perpendikulär zu ABsein. Es sei weiter ,Jl)=p, CD = q, dann wer-den die rechtwinkligen Dreiecke ACJ) und BCJ),

in welchen AC = b, BC — a, A D = p -f * c,

B D = p — * c ist, geben

cos « = cos q cos ( p *

cos b = cos q cos (p 4- — c) •

K

Setzt man jetzt in die schon früher gefundene Formel

die Werte

. 1 0 1 + cos a + cos b -I- cos c

cot _ S =-- - - A- -

2 sin a ■ sin b ■ sin c

cos a + cos h = 2 cos q ■ cos p ■ cos 0 c

1 — cos c — 2 cos 2

sin b sin C — sin c ■ sin B 2 sin c • cos c ■ sin B,

so bekommt man:

COS V -f cos p ■ cos q

cot , S — ---

sin a ■ sin - c ■ sin 11

Außerdem ist noch in dem rechtwinkligen Dreieck BCJ)

sin a ■ sin B = sin q