Elementargeometrische Einzeluntersuchungen.

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und folglich

oder

( 1 )

cos - c -f- cos P ■ cos 2

cot J S =--—----

sin —c • sin q

cos p • cos q — cot — S ■ sin

2 c- sin 1 ~ cos|c,

was endlich auch jene Beziehung zwischen p und q vorstellt, die dieLinie bestimmen muß, auf der alle Punkte C gelegen sind.

Wenn man jetzt JP um die Größe PK = x verlängert undKC = y zieht, so läßt sich die Seite KC des Dreiecks PKC, in

welchem PC = * n — q und der Winkel KPC = n — p aus derFormel

cos KC = cos KPC ■ sin PK sin PC -j- cos PK cos PC

oder

cos y — sin q • cos x — sin x • cos q ■ cos p

bestimmen. Man erhält nach Substitution des nach der Formel (1)gefundenen Wertes von cos q ■ cos_p

cos y = sin x ■ cos c + sin q (cos x — sin x cot * S ■ sin ^ cj ■

Man sieht daraus, daß wenn man annimmt

cos x — sin x • cot S ■ sin c — 0

oder

cot x = cot l S ■ sin ^ c,

alsdann gefunden wird

( 2 )

cos y = sin x ■ cos c

und folglich wird der Wert y eine Konstante werden.

Errichtet man also auf der Basis AB in der Mitte den Perpen-dikel JP und nimmt auf der andern Seite des Pols den Bogen PKso, daß

cot PK = cot ^ S ■ sin c,

so werden alle Spitzen der Dreiecke, die eine gemeinschaftliche Basis Cund gleiche Oberfläche S haben, auf dem kleinen Kugelkreise ECgelegen sein und alle Punkte dieses Kreises EC denselben nach derFormel

cos KC = sin PK - cos - cgefundenen Abstand KC von dem Pol K haben.