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Abschnitt XXII.

Die Bedeutung, die Lexell selbst diesem Theorem gab, oder, wieer es nannte, diesem Problem, ist daraus ersichtlich, daß er ihm einenbesonderen Artikel widmete, nämlich die schon oben erwähnte „So-lutio problematis geometrici ex doctrina sphaericorum“. Legendre stellte am Ende seiner Bemerkung X 1 ) zu seinen „Elements de geo-metrie“ die Lösung dieses Theorems in einer gedrängteren Weise dar,als der Autor. In dieser Form ist sie auch von uns dargestellt.

Nach dem Tode von Lexell übernahmen die Fortsetzung der

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von ihm unternommenen Ausarbeitung der sphärischen Geometriezwei andere Mitglieder der Petersburger Akademie der WissenschaftenNikolaus Fuß und Friedrich Theodor Schubert . Der erste vonihnen legte die Resultate seiner Untersuchungen in diesem Gebiet inden im Jahre 1788 erschienenen zwei Memoiren: „Problematum quo-rundam sphaericorum solutio“ 2 ) und „De proprietatibus quibusdamellipseos in superficie sphaerica descriptae“. 3 ) In dem ersten von ihnenlöste I uß folgende drei Aufgaben: Auf gegebener Basis zwischen zweigegebenen größten Kugelkreisen ein Dreieck zu konstruieren, an dessenSpitze der Winkel ein Maximum sei; ein Dreieck zu konstruieren,an dessen Spitze die Summe zweier Seiten ein Minimum sei; einDreieck zu konstruieren, dessen Fläche ein Maximum sei. Da dieLösung der ersten Aufgabe zu einer kubischen Gleichung führt, sountersucht der Autor zuerst die Bedingungen, bei denen die Aufgabedrei Wurzeln zuläßt. Diese Untersuchung findet mit Hilfe der Drei-teilung des Winkels statt und wird von Berechnungen begleitet, dieeinem bestimmten Fall angeboren. Danach folgt die Betrachtung desFalles, bei dem die beiden größten Kugelkreise aufeinander senkrechtstehen und welcher die kubische Gleichung zur Gleichung vom zweitenGrade bringt. Obwohl die zweite Aufgabe nicht schwer erscheint,führt dennoch der Gebrauch gewöhnlicher Mittel zu ihrer Lösunsr zusolchen Gleichungen, deren Lösung große Schwierigkeiten in den Wegsetzen. Der Autor umgeht sie, indem er die Spitze des Dreiecks umeinen unendlich kleinen Bogen ändert, als Resultat erscheint eineäußerst einfache Lösung. Außer dem Memoire von Fuß, und sogarfrüher als dessen Erscheinung, erschien die dritte Aufgabe im zweitenHeft des „Leipziger Magazins für reine und angewandte Mathematik“von J. Bernoulli und Hindenburg, was darauf hinweist, daß diedeutschen Gelehrten an den Untersuchungen über die sphärische Geo-metrie, die von den Petersburger Akademikern ausgeführt wurden,

6 Note X. Sur l’aire (lu triangle spherique. ! ) Nova Acta AcademiaeScientiarum Imperialis Petropolitanae, II, p. 70—83. *) Ebenda, III, p. 90

bis 99.