Abschnitt XXII.
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Linie, welche überhaupt gegeben werden kann, diejenige, welche sagt,parallel seien Gerade, wenn zwei Punkte der einen gleichweit vonzwei Punkten einer anderen Geraden entfernt sind. Zwei Punkte an-zuführen ist vollkommen genügend, weil zwei Punkte die gerade Liniebestimmen. Danach muß bewiesen werden (und das ist das Schwerste'),daß alle anderen Punkte der zweiten Geraden gleichweit entfernt sindvon der gegebenen Geraden und daß folglich sich diese Linien niemalsschneiden werden. Zu sagen, daß die parallele Linie eine solche ist,deren Punkte alle gleichweit von einer anderen Linie entfernt sindoder eine solche, welche bei der A^erlängerung sich niemals mit ihrschneidet, heißt das, wonach gefragt wird, voraussetzen. Den großenGeometern gleich zu sagen, daß zwei parallele Linien zwei geradeLinien sind, die in einer unendlichen Entfernung oder in einem un-endlich entfernten Punkte sich schneiden, das heißt einem vollkommeneinfachen Gegenstände eine äußerst metaphysische und abstrakte De-finition geben.“
Wie auch früher, waren die Anstrengungen der Geometer derzweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts, die sich mit der Theorie derParallellinien beschäftigten, auf die Entdeckung eines strengen Be-weises der fünften Forderung des Euklid, oder, was dasselbeist, seines elften Axioms gerichtet, welches, wie bekannt, folgendenSatz darstellt: Wenn eine Gerade zwei Gerade trifft und mit ihnenauf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sindals zwei liechte, so müssen die beiden Geraden, ins Unendliche ver-längert, schließlich auf der Seite Zusammentreffen, auf der die Winkelliegen, die zusammen kleiner sind als zwei liechte. In der zweitenHälfte des 18. Jahrhunderts waren zwischen den, wie die oben an-geführten Zahlen zeigen, zahlreichen Versuchen, den Beweis diesesSatzes zu liefern, sehr wenig solche, die allgemeine Aufmerksamkeitauf sich lenkten und die als vollkommen genügend angesehen in Lehr-bücher übergingen. In der chronologischen Reihenfolge ihrer Er-scheinung muß man vor allem bei dem Beweise von Bertrand stehenbleiben, welchen er in seinem aus der früheren Darstellung bekanntenWerke „Developpement nouveau de la partie elementaire des mathe-matiques“ 1 ) gab.
Seinem Beweise der fünften Forderung schickte Bertrand fol-genden Satz voraus: Zwei Gerade, welche von einer dritten Geradenderart geschnitten werden, daß die Summe der inneren Winkel, welcheauf derselben Seite der schneidenden Geraden liegen, zwei Rechte be-trägt, schließen einen solchen Teil der Ebene ein, der in der ganzen
*) Tome II, p. 19 — 20.