Parallelenlehre.

Ebene unendlich yielmal enthalten ist. Und wirklich, wenn man aufder Geraden G1I, die den angegebenen Bedingungen genügende zwei

gerade Linien AB und CD schneidet, die Strecke LM gleich derStrecke KL macht und danach

G

durch den Punkt J7 die Linie KFzieht, die mit GH den Winkel

F 31L, gleich dem Winkel 7) L K, ^

F

bildet, so wird bei der Verschie- C

bung des Streifens AC J)B, die denPunkt K zur Übereinstimmungmit dem Punkt L und die StreckeKL mit der Strecke LM bringt,

B

H

dieser Streifen mit dem Streifen

CEFB übereinstimmen, was daraus folgt, daß die Winkel DLMund BKL, als den Winkel DLK bis zu zweien Rechten ergänzend,einander gleich sein müssen. Da aber die Anzahl solcher Streifen,wie CEFB, gleich der Anzahl der nacheinander in der Linie GHeingetragenen Strecken L3I ist, so wird bei der augenscheinlich un-endlichen Zahl dieser Strecken auch die Anzahl dieser Streifen un-endlich sein. Nachdem Bertrand auf diese Weise seinen vorläufigenSatz bewiesen hat, geht er zur fünften Forderung über. Angenommen,

M

C

A

K

Fig. 13.

daß die Geraden AB und CD, welche von einer dritten Geraden KLderart geschnitten werden, daß die Summe der inneren Winkel, welcheauf derselben Seite der schneidenden Geraden KL liegen, zwei Rechtenicht beträgt. Es sei ebenso

L BKL - L DLK > 27?,

dann

^AKB-r LCLK<2B.

Wenn man nun die Gerade LM zieht, die den Winkel CLM bildet,welcher so viel Grade, Minuten und Sekunden enthält, als der SummeAKL- LCLK fehlen, daß sie 2 R gleich werde, so kann manauf Grund des vorhergehenden vorläufigen Satzes sagen, daß die ganze .Ebene eine unendliche Anzahl solcher Streifen enthält, wie der Streifen