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Abschnitt XXII.

M J.KA. Dasselbe kann man jedoch vom Winkel MLC nicht sagen,da er im Gegensatz zum Streifen ML KA in der ganzen Ebene eineendliche Zahl mal enthalten sein wird, nämlich 360mal bei derGröße von 1 Grad, 21600mal bei der Größe’ von einer Minute,1296000 mal bei Größe von einer Sekunde usw. Aus diesem Grundewird die Voraussetzung, daß die Gerade LC sich auf der Seite vonA nicht mit der Geraden KA begegnet, zu einer Absurdität, da siezu dem Schlüsse führt, der Winkel AILC, der in der ganzen Ebeneeine endliche Anzahl mal enthalten ist, sei im Streifen MLKA ent-halten, welcher in der ganzen Ebene eine unendliche Anzahl mal ent-halten ist oder, was dasselbe ist, bilde einen Teil von ihm. Alsoist es unmöglich, daß die Gerade LC sich mit der Geraden AK inder Seite von A nicht trifft, oder, überhaupt gesagt, ist es unmög-lich, daß sich zwei Gerade nicht treffen, die von einer dritten Ge-raden derart geschnitten werden, daß die Summe der inneren Winkel,welche auf derselben Seite der schneidenden Geraden liegen, zweiRechte nicht beträgt.

Um dem Leser die Kraft dieses Beweises verständlicher zumachen, führt Bertrand zum Schluß folgende strengere Darstellungseiner Gründe an. Wie klein oder wie groß ein Winkel auch seinwürde, dessen Scheitel im Zentrum des Kreises liegt, welcher mitirgend einem endlichen Radius beschrieben ist, wird er immer ent-weder zu einem Bogen gehören, der irgend eine Größe hat, oder zueinem Bogen, der gar keine Größe hat. Im zweiten Falle werdenseine Schenkel zusammenfallen und folglich wird er kein Winkelmehr sein. Was jedoch den ersten Fall anbetrifft, so wird, da diePeripherie des Kreises selbst eine endliche Größe besitzt, das Verhält-nis des Bogens, der dem Winkel gehört, zur ganzen Peripherie desKreises notwendig das Verhältnis einer endlichen Größe zu einer end-lichen Größe sein, und folglich wird sich auch der Winkel selbst zurganzen Winkelgröße am Zentrum, wie eine endliche Größe zu eineranderen endlichen Größe verhalten, was daraus folgt, daß die Zentri-winkel sich zur ganzen Winkelgröße am Zentrum verhalten wie dieBogen, die zu ihnen gehören, zur ganzen Peripherie des Kreises. Aberzur gleichen Zeit wird derjenige Teil der Ebene, welcher von zweiGeraden eingeschlossen ist, die von einer dritten Geraden derart ge-schnitten werden, daß die Summe der inneren Winkel, welche aufderselben Seite der schneidenden Geraden liegen, zwei Rechte beträgt,sich zur ganzen Ebene nicht wie eine endliche Größe zu einer anderenendlichen Größe verhalten, sondern wie eine endliche Größe zu"einer unendlichen. Der Streifen ACI)B z. B. verhält sich zurganzen Ebene, dessen Teil er bildet, wie eine endliche Gerade KL