Parallelenlehre.

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zu einer unendlichen Geraden KG. Also wie klein ein Wiukel auchsein wird, er wird immer den Teil einer Ebene übertreffen, welchereben mit dem Ausdruck „Streifen“ bezeichnet worden ist. Die Be-hauptung, daß ein Streifen einen Winkel enthält, schließt folglicheinen Widerspruch ein. Ebenso schließt auch die Behauptung einenWiderspruch ein, daß zwei Gerade, welche von einer dritten Geradenderart geschnitten werden, daß die Summe der inneren Winkel, welcheauf derselben Seite der schneidenden Geraden liegen, zwei Rechtenicht beträgt, sieh bei der Verlängerung auf der Seite, wo dieseSumme kleiner als zwei Rechte ist, nicht treffen werden.

Einer großen Bekanntheit, die die Bekanntheit der angeführtenBeweisführung Bertrands bedeutend übertraf, erfreuten sich die dem-selben Gegenstand gewidmeten Arbeiten Legendres hauptsächlichdank der Verbreitung seiner Elements de geometrie, in denen er sieanbrachte. An Stelle der fünften Forderung selbst bewies er in diesenseinen Arbeiten einige andere Sätze, auf denen die ganze Theorie derParallellinien ebenso streng begründet werden konnte, wie auf dieseForderung. Ein solcher Satz war in der ersten Ausgabe der „Eie-meuts“ im Jahre 1794 der folgende: Wenn die gerade Linie HI.) dasPerpendikel zu AH ist undeine andere Gerade AC mitderselben Linie Ali einenspitzen Winkel HAC bildet,so begegnen sich die LinienA C und HD bei genügenderVerlängerung. Legendre beweist diesen Satz auf fol-gende Weise: Der Punkt G, ^ ^ ^ , __

der Fußpunkt des Perpen- ^ ^ ^ ^ ^

dikels, der auf die Gerade Ai’ llg H '

von irgend einem Punkte

F auf der Linie AC gefällt ist, kann nicht auf den Punkt A fallen,noch auf irgend einen anderen Punkt auf der Linie AL. Die ersteVoraussetzung ist unmöglich, weil der Winkel BAF kein rechter ist.Was jedoch die zweite Voraussetzung anbetrifft, so erweist sich seineUnmöglichkeit aus folgenden Erwägungen. Wenn der Fußpunkt Gdes Perpendikels zum Beispiel auf den Punkt H fallen würde, sowürde sich das angenommene Perpendikel FH im Punkte K mit demanderen Perpendikel AE, das auf der Geraden AB in dem Punkte Aerrichtet ist, schneiden, dann würden von dem Punkte K aus auf dieGerade AB zwei Perpendikel gefällt worden sein, was unmöglich ist.Also kann der Punkt G, der Fußpunkt des Perpendikels FG, nur

Caktor, Geschichte der Mathematik IV. 26

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