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Abschnitt XXII.

auf irgend einen Punkt der Linie AJ fallen. Auf Grund derselbenErwägungen kann man weiterhin behaupten, daß der Fußpunkt 31des Perpendikels, der auf die Gerade AB von dem Punkte C aus ge-fällt ist, nicht in den Punkt G fallen kann und nicht in irgend einenanderen Punkt der Linie GL, da der Punkt C auf der Geraden ACin der Entfernung AC, die AF übertrifft, genommen ist. Ebensokann auch der Fußpunkt N des Perpendikels, der auf die Gerade ABvon dem Punkte T aus auf der Geraden AC in der Entfernung vonAP genommen, die AC übertriff't, gefällt ist, nicht auf den Punkt31, nicht auf irgend einen anderen Punkt der Linie 31L fallen usw.Also können die Fußpunkte 31, N usw. der Perpendikel sich nurbez. auf den Linien GJ, 31J usw. befinden auf Entfernungen vomPunkte A, die bez. die Entfernungen A G, A 31 usw. übertreffen. Aufdiese Weise werden nach der allmählichen Entfernung der Punkte derLinie AC vom Punkte A, von denen Perpendikel auf die Linie ABgefällt werden, auch diese Perpendikel sich vom Punkte A entfernen.Dabei eine Grenze der Vergrößerung des Abstandes (z. B. ^liS r ) desFußpunktes des Perpendikels vom Punkte A bei der gleichzeitigenVergrößerung des Abstandes vom Punkte A desjenigen Punktes (z. B.P), von dem das Perpendikel gefällt ist, vorauszusetzen, wäre absurd.Und wirklich, nehmen wir an, daß das letzte oder das am meistenvom Punkte A entfernte Perpendikel C3I sei, so könnten wir, indemwir auf der Verlängerung yon AC den Punkt P nehmen würden, aufdieselbe Weise, wie auch früher, beweisen, daß der Fußpunkt desPerpendikels PX auf die Linie 3IJ fallen muß und folglich von Aauf einer Entfernung, die die Entfernung A3I übertriff't, sein muß,was der Voraussetzung widerspricht. Also können die Fußpunkte derPerpendikel, die von den verschiedenen Punkten der Linie AC ausauf AJ gefällt sind, in beliebig großen Entfernungen vom Punkte Aliegen, folglich wird auch unter ihnen ein solcher Fußpunkt sein, dermit B zusammenfallen wird, oder, was dasselbe ist, das ihm ent-sprechende Perpendikel wird mit BT) zusammenfallen, woraus direktfolgt, daß die Linien AC und BD bei genügender Verlängerung ein-ander treffen werden.

Dieser Beweis ist nicht genau, da die Behauptung von der Ab-surdität der Voraussetzung, daß es eine Grenze der Entfernung gäbezwischen dem Fußpunkt des Perpendikels und dem Punkte A, nichtrichtig ist. Und diese Ungenauigkeit ist der Aufmerksamkeit derZeitgenossen nicht entschlüpft. Gurief hat schon in seiner oben er-wähnten kritischen Analyse der „Elements“ von Legendre folgendeEinwände diesbezüglich gemacht. 1 ) Wenn auch zusammen mit der

*) Versuch einer Vervollkommnung der Elemente der Geometrie, S. 189—190.