Parallelenlehre.

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Entfernung des Punktes C von M der Abstand A fl/ des PerpendikelsCM von demselben Punkte A wirklich eine unendliche Anzahl Zu-wächse bekommen kann, so folgt noch lange nicht daraus, daß dieVoraussetzung von der Möglichkeit der Existenz einer Grenze für dieEntfernung AM absurd ist. Der Beweis Legendres setzt dabei nurdie Unmöglichkeit der Existenz des letzten der Perpendikel fest, dievon dem auf AC genommenen Punkte aus auf AB gefällt werden,beweist jedoch in keinem Falle die Unmöglichkeit der Existenz einerGrenze für den Abstand AM. Es kann jedoch kein Zweifel bezüg-lich des ersteren herrschen, deshalb ist auch sein Feststellen nicht alsBeweis des betrachteten Satzes anzusehen. Was jedoch die Unrich-tigkeit der Ansicht, daß die Voraussetzung der Existenz einer Grenzedes Abstandes AM absurd sei, anbetrifft, so deckt sie Gurief mitHilfe folgender Betrachtungen auf. Da uns beim Beweise des Grundsatzesder Theorie der Parallellinien noch nicht bewußt ist, ob den gleichenLängen AF, FC, CF usw., die auf AF genommen, ebenso unter-einander gleiche Größen entsprechen, nämlich AG, GM, MN usw.,die auf der Linie AJ durch die gefällten Perpendikel von den PunktenF, C, F usw. abgetrennt sind, so entsteht die Möglichkeit zu sagen,daß die Zuwächse des Abstandes AAI z. B. der Reihe folgen

1 1 1 1 l

2 ' 4 ’ 8 ’ lis» ‘ ‘ '•

Da aber die Summe der Glieder dieser Reihe immer kleiner als 2 ist,wie weit man sie auch fortsetzt, so folgt daraus direkt, daß, wie weitder Punkt C sich vom Punkte A auch entfernen mag, das von ihmaus gefällte Perpendikel CM auf der Linie AJ immer eine um zwei-mal kleinere als die genommene Größe AG von ihr absclmeidenwird. Die verdoppelte Größe AG wird auf diese Weise zur Grenzeder Entfernung AM.

Den Beweis Legendres auf diese Weise widerlegend, gab Gu-rief in demselben Werke 1 ) seinen eigenen Beweis der fünften For-derung, der mit dessen Teilung in drei Fälle anfing. Als ersten Fallbeweist er den, in welchem von den beiden inneren Winkeln, welcheauf derselben Seite der schneidenden Geraden liegen, der eine einspitzer, der andere ein rechter ist. Beim Beweise des zweiten, inwelchem beide innere Winkel, welche auf derselben Seite der schnei-denden Geraden liegen, spitze Winkel sind, benutzt er den ersten Fall.Was jedoch den dritten Fall anbetrifft, in dem der eine der innerenW inkel, welche auf derselben Seite der schneidenden Geraden liegen,

*) Versuch einer Vervollkommnung der Elemente der Geometrie, S. 23C—239.

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