396

Abschnitt XXII.

ein spitzer und der andere ein stumpfer ist, so führt er dessen Be-weis direkt auf den ersten Fall zurück. Der Beweis, den Guriefdem ersten Fall gab, welcher den Fall darstellt, den Legendre zubeweisen versucht, wurde Gurief durch das Durchsehen der Arbeitdes letzteren eingetlößt, wie er es selbst eingestellt, indem er mit demihm eigenen Eigendünkel sagt: „Wie schwach und unbegründet dieserBeweis des Herrn Legendre auch sei, er gab mir die Gelegenheitdiese Sache zu beendigen, auf die so viel Mühe verwandt worden ist,wie im Altertum, so auch in der neuen Zeit, von den berühmtestenMännern.“ 1 ! Dieser Beweis ist ebenso ungenau, wie der Beweis Le-gendres, weil Gurief unbemerkbar für sich selbst denselben Fehl-tritt getan hat wie Legendre .

Indem Legendre von der Kritik Guriefs keine Vorstellunghatte, da dieselbe in russischer Sprache erschien, war er selbst vonseinem Beweise nicht befriedigt. In der dritten Ausgabe seiner„Elements“, die im Jahre 1800 erschien, ebenso auch in allen folgen-den bis zur achten einschließlich, bewies er an Stelle des Satzes, dener als Grundsatz der Theorie der Parallellinien in der ersten Ausgabeaunahm, schon einen anderen, nämlich den Satz von der Gleichheitder Winkeisumme eines Dreiecks mit zwei Hechten, welcher infolgeseines engen Zusammenhanges mit der Theorie der Parallellinien alsGrundsatz dieser Theorie ebenso streng angenommen werden kann,wie der erste re Satz und wie die fünfte Forderung selbst.

Xach einer Reihe mißlungener Versuche, den direkten Beweisdieses Satzes zu finden, war Legendre gezwungen bei dem indirektenBeweise stehen zu bleiben, nämlich bei den Sätzen, daß die Winkel-summe eines Dreiecks nicht größer sein kann als zwei Rechte, unddaß dieselbe Summe nicht kleiner sein kann als zwei Rechte. Fürden ersten dieser Sätze gab er folgenden vollkommen strengen Beweis.Wenn es möglich ist, so sei das Dreieck ABC ein solches, bei dem

Fig. 15.

die Winkelsumme größer als zwei Rechte ist. Indem man dann aufder Verlängerung von AC die Strecke CE = AC nimmt, den WinkelECI) — CAB konstruiert, auf seiner Seite die Strecke CD = AB

') Versuch einer Vervollkommnung der Elemente der Geometrie, S. 190.