Parallelenlehre.

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macht und sodann die entsprechenden Punkte durch die Linien DE undBl) verbindet, so bekommt man ein Dreieck CDE, das gleich demDreieck ABC ist, da sie übereinstimmen in zwei Seiten und demeingeschlossenen Winkel. Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt,daß der Winkel CED = ACB ist, der Winkel CDE = ABC unddie dritten Seiten ED und BC gleich sind. Da die Linie ACE eineGerade ist, so ist die Summe der Winkel ACB, BCD und DCEzwei Rechten gleich, und folglich laut der Voraussetzung, daß dieWinkelsumme des Dreiecks ABC größer als zwei Rechte ist,

CAB + ABC + BCA > ACB + BCD + DCE.

Indem man von beiden Seiten dieser Ungleichheit den gemeinsamenWinkel ACB subtrahiert und ebenso die gleichen Winkel CAB undECD, bekommt man

ABC > BCD-

und da die Seiten AB und BC des Dreiecks ABC gleich den ent-sprechenden Seiten CD und CB des Dreiecks BCD sind, so wird diedritte Seite A C größer als die dritte Seite BD sein. Wenn man sichdanach die Linie AE als unbegrenzt verlängert denkt, ebenso die aufihr konstruierte Reihe von gleichen und ähnlich liegenden DreieckenABC, CDE, EEG , GHJ usw., so wird zu gleicher Zeit durch dieVerbindung der anliegenden Spitzen durch die Geraden BD, DF, FH,HK usw. eine Reihe dazwischen liegender Dreiecke BCD, DEF,FGH usw. erhalten, die alle untereinander gleich sein werden, alssolche, die übereinstimmen in zwei Seiten und dem eingeschlossenenWinkel. Aus der Gleichheit dieser Zwischendreiecke folgt, daßBD = DF = FH = HK usw.

Weil ACy-BD ist, sei die Differenz zwischen ihnen AC—BD = D.Dann wird 2 D die Differenz zwischen der Geraden ACE, die gleich2AC ist, und der geraden oder der gebrochenen Linie BDF sein,die gleich 2BD ist und ebenso AG — BH=3D, AJ — BK = 4D usw.Aber wie klein auch die Differenz 1) wäre, ist es augenscheinlich,daß sie, genügend wiederholt, größer werden kann, als irgend einemögliche gegebene Größe, infolgedessen kann man immer voraus-setzen, daß die Reihe der Dreiecke so weit fortgesetzt ist, daß

AP- BQ >2 AB oder AP > BQ + 2 AB.

Andererseits jedoch dieser Folgerung widersprechend, muß die GeradeAP kürzer sein als die gebrochene Linie ABQP, weil sie mit ihrdie gemeinsamen Endpunkte .1 und P hat, d. h. es muß immer sein

AP < AB + BQ + QP oder AP < BQ + 2 AB.