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Abschnitt XXII.

Die Voraussetzung, von der man ausging, erweist sich auf diese Weiseals absurd, folglich kann die Winkelsumme des Dreiecks ABC nichtgrößer als zwei Rechte sein.

Dem zweiten Satze gab Legendre den Beweis, dessen Mangel-haftigkeit er später selbst anerkannte 1 ), indem er sagte, daß „dieserzweite Satz, obwohl das Prinzip seines Beweises gut bekannt ist, unsSchwierigkeiten stellte, die wir nicht vollends beseitigen konnten“.

Zu Legendres Versuchen des direkten Beweises des Satzes überdie Gleichheit der Summe der Winkel eines Dreiecks mit zwei Rechtenist auch der Beweis dieses Satzes zu rechnen, welcher in der erstenAusgabe der „Elements de geometrie“ angeführt wird, obwohl er auchnicht mit der Absicht gegeben war, diesen Satz als Grundsatz derTheorie der Parallellinien anzugeben. Ungeachtet dessen, daß dieserBeweis in dem eben angeführten Memoire von Legendre 2 ) wieder-holt war, befriedigte er den Autor nicht, weil er sich nicht mit demGebrauche der Mittel begnügte, die vom ersten Buche der Elementedes Euklid geboten wurden, und teils synthetisch, teils analytisch war.Hier ist dieser Beweis.

Indem wir unmittelbar durch Auflegung ohne Anwendung irgendeines vorläufigen Satzes beweisen, daß zwei Dreiecke kongruent sind,wenn sie übereinstimmen in einer Seite und den beiden anliegendenWinkeln, bezeichnen wir die erwähnte Seite mit dem Buchstaben p Tdie ihr anliegenden Winkel mit A und B und den dritten Winkelmit C. Es ist nötig, daß der Winkel C vollkommen bestimmt istim Falle, wenn die Winkel A und B und die Seite p bekannt sind,weil im andern Fall den drei gegebenen Größen A , B, p einigeWinkel (7 entsprechen könnten und es ebenso viel verschiedene Drei-ecke geben würde, die übereinstimmen in einer Seite und den beidenanliegenden Winkeln, was unmöglich ist. Also muß der Winkel Ceine bestimmte Funktion der drei Größen A, B, p sein, was auffolgende Weise dargestellt werden kann C = <f (A, B, p).

Wenn als Einheit der rechte Winkel genommen wird, so werdendie Winkel A, B, C durch Zahlen ausgedrückt werden können, diezwischen 0 und 2 liegen; da aber C = cp (A, B, p), so erhalten wirdie Möglichkeit zu behaupten, daß die Funktion 9 ? die Linie p nichtenthalten kann. Und wirklich, wenn dank der Eigenschaft des Cdurch die gegebenen Größen A, B, p allein vollkommen bestimmtzu werden, irgend eine Gleichung zwischen A, B, C, p existieren

*) Legendre , Refiexions sur differentes mauieres de demontrer la theoriedes paralleles ou le thtjoreme sur la somme des trois angles du triangle.Memoires de l’Aeademie Royale des seiences de l'Institut de France XII (1833),p. 371. *) Ebenda, p. 372—374.